向量是什么呢#

向量是一个有方向的线段，它有大小和方向。向量的长度是向量的模，向量的起终点决定向量的方向。写作$\vec{a}$或$\overrightarrow{AB}$。从起点指向终点。

向量与起点位置无关，是可以平移的。

大小相等，方向相同的向量相等

向量的线性运算#

向量相加 三角形法则或平行四边形法则 有交换率和结合律 向量坐标对应相加 向量相减 转换成加法，或者从==减数向量==的终点指向==被减向量==的终点（前减后，后指前）。 向量坐标对应相减

==向量三角不等式== $∣a∣−∣b∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣$(当$\vec{a}$和$\vec{b}$同向共线的时候取等)

向量数乘 向量所在的直线不变，大小乘以k。乘负数的话反向。有交换律和分配律。 向量坐标对应相乘

向量平行#

两个向量平行$\vec{a}//\vec{b}(\vec{b}\ne\vec{0})$，那么$\vec{a}=\lambda \vec{b}$ 。当然存在唯一的实数λ，使得$\vec{a}=\lambda \vec{b}$，那么两个向量平行$\vec{a}//\vec{b}$。这是平行向量的等价判定条件

设三维向量a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)（均为非零向量），则a//b的充要条件是坐标成比例：（如果某个坐标为0，对应 的坐标也是0） $\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\lambda$ 或用行列式 / 分量关系表示（避免分母为 0）：$x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}、y_{1}z_{2}=y_{2}z_{1}、x_{1}z_{2}=x_{2}z_{1}$（三个等式同时成立）。

空间直角坐标系#

定比分点#

向量模长平方公式#

$∣a+b∣^2=∣a∣^2+2a⋅b+∣b∣^2$

混合积有两个关键性质#

1. 若两个向量相同，则叉乘为 0，故 (a×c)⋅c=0，(b×c)⋅c=0。
2. 轮换对称性：(a×b)⋅c=(b×c)⋅a=(c×a)⋅b，且交换两个向量会变号。