偏导数的定义#

偏导数的实质#

对一个二元函数$z = f(x,y)$求偏导。比如说求z对于x的偏导就是在y一定（比如等于k）的时候。对于y=k平面切出的Z与X的函数，求z关于x的导数。曲面在y固定的方向上的切线斜率。

在求偏导的过程中将X当做自变量，而其他的所有的除X以外的自变量都看作常数来求导。有点像是变换主元。暂时只让一个变量动，其他都冻结。

偏导数和连续、可微的关系#

虽然在一元函数里面可导意味着连续和可微。 但是在多元函数里面，==偏导数存在不一定连续，偏导数存在也不一定可微==。

Z关于X和y的偏导数存在，只能说明函数Z在平行于y轴方向和平行于X轴方向是可导的。而连续和可微要求在一个点附近以任意的方向趋近，都满足函数值等于极限值。所以一个点的两个偏导数存在只能证明一个点在两个方向上沿直线逼近是连续和可微的，对于其他的方向都是未知的。

高阶偏导数#

求高阶偏导数就是在已经求了一次偏导数之后，再求一次对某变量的偏导。

初等函数、（阶阶混合偏导数连续的情况下）的混合高阶偏导数是一样的。$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$不用管它的顺序是如何，先对X求偏导再对y求偏导和先对y求偏导再对X求偏导的效果是一样的。