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增量
增量
偏增量
f(x+\Delta x, y)-f(x, y) \approx f_{x}(x, y) \Delta x, \\ f(x, y+\Delta y)-f(x, y) \approx f_{y}(x, y) \Delta y . \end{array}$$ 函数实际的偏增量约等于偏微分。 ## 全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)$ # 全微分的定义  在一元函数里，函数的微分就是自变量在增加一点点的时候，函数值增加的那一点点的大小。但是在二元函数里面。 全微分就成了向四面八方增加一点点的时候函数增加的大小。 一元函数用切线来近似函数值的变化。二元函数用切平面来近似函数值的变化。 **全微分是 x、y 同时发生微小变化时，函数值的线性近似增量。** 全微分确定的是在某一个点的类似于切平面的东西。当它在这一个点向四面八方移动一点点的时候，会近似在这个切平面上移动一点点 - 真实曲面是弯的，往不同方向走，增减不一样 - 但我们用**切平面**去 “贴” 在这个点附近 - 只要移动得足够小，曲面 ≈ 切平面 # 可微分和连续的关系 二元函数如果在某一点可以微分，那么它在这一点就是连续的。 # 可微分和偏导的关系 1. 如果函数在某一点是可微分的，那么该函数在这一点的偏导数必定存在。并且这一点的全微分是$$\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial z}{\partial y} \Delta y$$ 2. 如果函数的**偏导数**在某一点连续（函数的偏导数在某一点的**某个邻域内**存在，在这个**邻域内有定义**）那么函数在这一点是可微分的。 # 偏微分的叠加原理  分享
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