区域$D$关于$x$轴对称#

$f(x,-y) = -f(x,y)$（对$y$奇函数）：

$f(x,-y) = f(x,y)$（对$y$偶函数）：

区域$D$关于$y$轴对称#

$f(-x,y) = -f(x,y)$（对$x$奇函数）：

$f(-x,y) = f(x,y)$（对$x$偶函数）：

累次积分法#

累次积分法（Iterated Integration），就是把重积分（二重 / 三重）拆成一串单变量定积分，一层一层往里算，核心是先固定一个变量，积另一个，再积外层变量。 一、核心思想（二重积分） 重积分： $\iint_D f(x,y)\,dxdy$累次积分（两种顺序）： 先 y 后 x（X 型区域）： $\int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx$ 先 x 后 y（Y 型区域）： $\int_{c}^{d}\left(\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)\,dx\right)dy$先把一个变量当常数，算内层定积分，再算外层。

而选择x型还是y型，取决于哪个好算

• 区域垂直于哪个轴
• 哪个型不用分段积分
• 哪个型能算出来用哪个

累次积分法（在长方形区域上时）#

被积函数可分离变量，可拆成两个定积分乘积 若 $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$，则：

$\iint_D g(x)h(y)\,dxdy =\left(\int_a^b g(x)dx\right)\cdot\left(\int_c^d h(y)dy\right)$分离变量 → 二重积分变两个一元积分相乘。因为此时两个一元积分算出来都是常数

xy坐标 ↔ 极坐标替换式#

$x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta$$x^2+y^2=\rho^2$

$dxdy = \rho\,d\rho d\theta$ 关键点：一定要多乘一个 $\boldsymbol{\rho}$，考试最容易漏。

二重积分极坐标变换公式#

$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\,\boldsymbol{\rho}\,d\rho d\theta$

常用积分次序#

五、常见区域极限（用$\boldsymbol{\rho}$）#

1. 原点为圆心、半径$R$整圆 $\theta\in[0,2\pi],\ \rho\in[0,R]$

2. 上半圆 $y\ge 0$$\theta\in[0,\pi],\ \rho\in[0,R]$

3. 第一象限四分之一圆 $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right],\ \rho\in[0,R]$

4. 圆环 $a\le x^2+y^2\le b$$\theta\in[0,2\pi],\ \rho\in[a,b]$

六、适合用极坐标的情况#

• 区域：圆、圆环、扇形、心形线、双纽线
• 被积函数含：$x^2+y^2,\sqrt{x^2+y^2},\dfrac{y}{x}$ 替换： $f(x^2+y^2)\Rightarrow f(\rho^2),\quad \dfrac{y}{x}\Rightarrow \tan\theta,\quad \sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow \rho$

七、解题标准步骤#

1. 画区域$D$，判断换极坐标
2. 定出$\theta$范围
3. 代换 $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$, $x^2+y^2=\rho^2$到区域$D$的表达式里,算出用$\theta$表示的$\rho$
4. 定出$\rho$上下限
5. $\iint_D f(x,y)dxdy$ 换成 $\iint_D f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\,\boldsymbol{\rho}\,d\rho d\theta$
6. 化为累次积分计算

例子：极坐标变换#

$\theta$ 型区域（放射扇形）#

区域由两条射线 $\theta=\alpha,\ \theta=\beta$ 和两条曲线 $r=r_1(\theta),\ r=r_2(\theta)$ 围成：

$\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma = \int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d}\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r,\theta) \cdot r\,\mathrm{d}r$

$r$ 型区域（同心圆型）#

区域由两个圆弧 $r=a,\ r=b$ 和两条曲线 $\theta=\theta_1(r),\ \theta=\theta_2(r)$ 围成：

$\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma = \int_{a}^{b} \mathrm{d}r \int_{\theta_1(r)}^{\theta_2(r)} f(r,\theta) \cdot r\,\mathrm{d}\theta$

6.1 广义极坐标（椭圆区域）#

当积分区域为椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \leq 1$ 时：

$x = ar\cos\theta,\quad y = br\sin\theta$

$J = \begin{vmatrix} a\cos\theta & -ar\sin\theta \\ b\sin\theta & br\cos\theta \end{vmatrix} = abr$

$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = abr\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$

6.2 线性变换#

当积分区域是平行四边形时，可使用线性变换将其变为矩形。