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什么是多元函数的极值呢

• 粗略：一个点比周围的点都大（小），这个点就是个极值点。
• 详细：     设函数  $z=f(x, y)$  在点  $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$  的某邻域  $U\left(P_{0}\right)$  内有定义，若对于该邻域内异于  $P_{0}$  的所有点  $(x, y)$  ，都有：         1．极大值： $f(x, y)<f\left(x_{0}, y_{0}\right)$         则称  $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$  为函数的一个极大值，点  $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$  称为极大值点。         2．极小值： $f(x, y)>f\left(x_{0}, y_{0}\right)$         则称  $f\left(x_{0}, y_{0}\right)$  为函数的一个极小值，点  $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$  称为极小值点。

什么是驻点？

• 驻点：一阶偏导数都为 0 的点（$fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0$）。像是三维的“拐点”。
• 驻点和极值点的关系
  • 极值点不一定是驻点（偏导数不存在的点也可能是极值点，如 $z=x2+y2$ （圆锥面）在原点处）。
  • 驻点也不一定是极值点（如 $z=xy$ （马鞍面）在原点处是驻点，但不是极值点）。
  • 具有偏导数的极值点必是驻点
    • 如果一个点是函数的极值点，并且在这个点上函数的两个一阶偏导数都存在，那么这两个偏导数的值一定都是 0，也就是它必然是驻点。

多元函数无条件极值的充分条件

• 前提：设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有二阶连续偏导数，且 $P_0$ 是它的驻点，即：$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$
• 令$A=f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right), \quad B=f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right), \quad C=f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$，定义$\Delta=A C-B^{2}$。
• 则：| 判别式$Δ=AC−B2$ | A 的符号 | 结论 | | Δ>0 | A>0 | f(x0,y0) 是极小值 | Δ>0 | A<0 | f(x0,y0) 是极大值 | Δ<0 | 任意 | f(x0,y0) 不是极值（鞍点） | Δ=0 | 任意 | 无法判定，需用更高阶方法或定义直接判断
• 判断极值点步骤：
  • 先求双偏导为0判别驻点
  • 再求三个二阶偏导判别极值点

求多元函数的条件极值

• 拉格朗日乘数法求：$z=f(x,y)$ 在约束条件 $φ(x,y)=0$ 下的条件极值。（数乘的意思就是用辅助数乘上约束条件加到原函数上）
  • 1. 构造拉格朗日函数$L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)$
  • 2. 全部一阶导都是0$\left\{\begin{array}{l}L_{x}=f_{x}+\lambda \varphi_{x}=0 \\L_{y}=f_{y}+\lambda \varphi_{y}=0 \\L_{\lambda}=\varphi(x, y)=0 \end{array}\right.$
  • 3. 解方程组找出可疑点（技巧：前两式消去 $λ$，找 $x,y$ 关系，再代入约束方程$L_{\lambda}=\varphi(x, y)=0$）
  • (可能：判断极值点是极大值还是极小值)
• 或者将条件极值转化成非条件极值，也就是能带入消元的时候，把问题转化成一元函数的极值。 例题