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1.1 定义#

设 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 是一个 $n$ 维向量组。若 $A$ 的一个部分组：

满足以下两个条件：

1. 线性无关：该部分组线性无关；
2. 极大性：向量组 $A$ 中任意向量都可由该部分组线性表示（等价地，添加 $A$ 中任何一个其余向量到该部分组中，都会使新向量组线性相关）。

则称该部分组为向量组 $A$ 的极大线性无关组（maximal linearly independent subset），简称极大无关组。

1.2 与向量组秩的关系#

• 向量组的秩定义为极大无关组中所含向量的个数。
• 记作 $\operatorname{rank}(A)$ 或 $r(A)$。

1.3 直观理解#

• 极大无关组是向量组中”最能代表整个向量组”的一个子集。
• 它包含了向量组中所有”独立的方向”，既不冗余（线性无关），又能生成整个向量组（极大性）。

2.1 极大性的等价表述#

极大性也可等价表述为：

• 在保持线性无关的前提下，不能再从 $A$ 中取更多向量加入该部分组。
• 或者说：该部分组的秩等于原向量组的秩。

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2.2 对零向量组的说明#

若向量组 $A$ 中全为零向量，则不存在极大无关组（或约定极大无关组为空集，秩为 $0$）。因为任何部分组若不包含任何向量，则空集是线性无关的（约定），且空集可以”表示”零向量（系数全取 $0$）。但通常我们只对非零向量组讨论极大无关组。

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3.1 存在性#

• 任意向量组（不全是零向量）都存在极大无关组。
• 特别地，任意向量组都与它的极大无关组等价。

3.2 不唯一性#

• 一个向量组的极大无关组不一定唯一。
• 但同一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相同（都等于秩）。
• 同一个向量组的任意两个极大无关组互相等价（可互相线性表示）。

3.3 与向量组本身的关系#

• 原向量组 $A$ 与它的极大无关组等价。
• 若 $A$ 本身线性无关，则 $A$ 本身就是它的极大无关组。
• 若 $A$ 线性相关，则可以从 $A$ 中剔除若干个”多余”的向量得到极大无关组。

3.4 与张成空间的关系#

即极大无关组与原向量组张成相同的子空间。

3.5 部分组性质#

• 若向量组的某个部分组线性无关，则该部分组可扩充为一个极大无关组（扩充定理）。
• 若向量组的某个部分组线性无关，且该部分组的向量个数等于向量组的秩，则该部分组就是极大无关组。

3.6 延伸/缩短与极大无关组#

• 若向量组 $A$ 的极大无关组为 $B$，则 $A$ 的延伸组（添加分量）的极大无关组中向量个数可能增加（因为维数增加，可能出现新的独立方向），也可能不变。
• 缩短组的极大无关组中向量个数可能减少。

4.1 若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示#

设 $A = \{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$，$B = \{\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s\}$，且 $A$ 可由 $B$ 线性表示。则：

• $A$ 的极大无关组可由 $B$ 的极大无关组线性表示。
• $\operatorname{rank}(A) \leq \operatorname{rank}(B)$。
• 特别地，若 $A$ 可由 $B$ 线性表示且 $A$ 线性无关，则 $|A| \leq \operatorname{rank}(B)$。

4.2 若两个向量组等价#

若 $A$ 与 $B$ 等价（互相线性表示），则：

• $A$ 的极大无关组与 $B$ 的极大无关组等价。
• $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。
• $A$ 的极大无关组也可由 $B$ 的极大无关组线性表示，反之亦然。

4.3 极大无关组在线性表示中的应用#

设 $\{\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \dots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}\}$ 是 $A$ 的一个极大无关组，则：

• $A$ 中任意向量 $\boldsymbol{\alpha}_j$ 都可由该极大无关组唯一线性表示。
• 表示系数可通过解线性方程组求得。
• 当利用矩阵行最简形求极大无关组时，同时可以读取这些表示系数。

5.1 基本思想#

将向量组按列排成矩阵，进行初等行变换化为行最简形（RREF）。初等行变换不改变列向量组之间的线性关系。

NOTE

（同：初等列变换不改变行向量组之间的线性关系（线性表示的倍数关系等）本质：对每个行向量施加同一个可逆线性变换——坐标轴的缩放 + 剪切 + 置换。因为变换是均匀施加在所有行向量上的，所以系数结构纹丝不动——就像你同时旋转/拉伸一组相关联的箭头，它们之间的组合关系不会因为视角或尺度的改变而破坏。）

5.2 具体步骤#

设向量组为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$（均为 $n$ 维列向量）。

步骤 1：构造矩阵

即把每个向量作为一列。

步骤 2：对 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形（RREF）：

步骤 3：在 RREF 中，主元列（首非零元所在的列）对应的原向量构成一个极大无关组。

步骤 4：对于非主元列，在 RREF 中直接读出该列向量用主元列线性表示的系数，即原向量用极大无关组线性表示的系数。

5.3 示例#

求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 1, 1)$，$\boldsymbol{\alpha}_2 = (1, 2, 3)$，$\boldsymbol{\alpha}_3 = (2, 3, 4)$，$\boldsymbol{\alpha}_4 = (3, 5, 7)$ 的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组表示。

解： 将向量按列排成矩阵：

做初等行变换：

行最简形为：

主元列：第 1 列和第 2 列。因此 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 构成一个极大无关组。

从 RREF 中直接读出：

• 第 3 列 = $1 \cdot$ 第 1 列 + $1 \cdot$ 第 2 列 $\Rightarrow \boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$
• 第 4 列 = $1 \cdot$ 第 1 列 + $2 \cdot$ 第 2 列 $\Rightarrow \boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$

所以极大无关组为 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\}$，且 $\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$。

验证：$\operatorname{rank}(A) = 2$，极大无关组含 2 个向量。

5.4 注意事项#

• 矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系，但行变换会改变行向量组的线性关系。因此求列向量组的极大无关组只能用行变换，不能用列变换。
• 若用列变换，则改变的是行向量组的关系，不适用于列向量组的极大无关组。
• 主元列的选择不唯一（当某列不是主元列时，选择不同的主元列策略会得到不同的极大无关组），但主元列的个数（即秩）是唯一确定的。

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6.1 求两个向量组的极大无关组的关系#

设有向量组 $A = \{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$ 和 $B = \{\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s\}$，将它们按列拼成一个大矩阵：

对 $M$ 做初等行变换化为 RREF，则：

• 主元列对应的原向量（包括 $A$ 和 $B$ 中的向量）构成 $A \cup B$ 的极大无关组。
• 由此可看出 $A$ 的极大无关组与 $B$ 的极大无关组之间的关系。

6.2 判断两个向量组是否等价#

利用拼成的矩阵化 RREF 后：

• 若 $A$ 的所有向量在 RREF 中对应的列都可以用 $B$ 的列线性表示，且反之亦然，则 $A$ 与 $B$ 等价。
• 更直接地：$A$ 与 $B$ 等价 $\iff$$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A \cup B)$。

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