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1.1 定义#

给定 $m$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 和一组实数 $k_1, k_2, \dots, k_m$，称表达式

为这组向量的线性组合（linear combination），$k_i$ 称为组合系数。

1.2 线性组合的结果#

线性组合的结果仍是一个 $n$ 维向量。具体地，设

则线性组合的第 $j$ 个分量为：

1.3 常见特例#

2.1 定义#

对于向量 $\boldsymbol{\beta}$ 和向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$，若存在一组实数 $k_1, k_2, \dots, k_m$，使得

则称 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$线性表示（或线性表出）。

• $\boldsymbol{\beta}$ 称为表示结果。
• $k_i$ 称为表示系数。
• 若不存在这样的系数，则称 $\boldsymbol{\beta}$ 不能被该向量组线性表示。

2.2 线性表示的等价条件#

将向量组按列排成矩阵，设

则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由该向量组线性表示 当且仅当 线性方程组 $A \mathbf{x} = \boldsymbol{\beta}$ 有解。

其中 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_m)^\top$ 就是表示系数向量。

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2.3 线性表示与秩的关系#

设向量组的秩为 $r$，则：

• 若 $r = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{\beta})$，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可被线性表示。
• 若 $\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{\beta})$，则 $\boldsymbol{\beta}$ 不能被线性表示。

简记：表示系数有解 $\iff$ 增广矩阵的秩与原系数矩阵的秩相等。

3.1 存在性条件#

向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示 $\iff$

3.2 唯一性条件#

若 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组线性表示，表示系数唯一$\iff$ 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$线性无关。

若向量组线性相关，则表示系数有无穷多组（只要存在一组解，则对应的齐次方程组有非零解，可叠加）。

3.3 几何直观#

4.1 线性相关的等价定义#

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关 $\iff$ 至少存在其中一个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示。

注意：这个说法默认 $m \geq 2$。且该向量不能是零向量（零向量可由任意向量组线性表示，但零向量出现在向量组中会导致线性相关）。

4.2 与线性表示的关系#

• 若向量组线性无关，则其中任一向量都不能由其余向量线性表示。
• 若向量组线性相关，则至少有一个向量可由其余向量线性表示（但不一定是每一个）。
• 零向量可由任意向量组线性表示（取所有系数为 $0$ 即可）。

4.3 重要定理#

定理：设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关，而 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 唯一线性表示。

5.1 定义#

设有两个向量组：

若 (II) 中的每一个向量都可由 (I) 线性表示，则称向量组 (II) 可由向量组 (I)线性表示。

5.2 传递性#

若向量组 $A$ 可由 $B$ 线性表示，且 $B$ 可由 $C$ 线性表示，则 $A$ 可由 $C$ 线性表示。

5.3 与秩的关系#

• 若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，则 $\operatorname{rank}(A) \leq \operatorname{rank}(B)$。
• 若两个向量组可以互相线性表示，则称它们等价，且秩相等。

6.1 定义#

向量组的一个部分组满足：

1. 该部分组线性无关；
2. 向量组中任意向量都可由该部分组线性表示。

则称该部分组为向量组的极大线性无关组（maximal linearly independent subset）。

6.2 性质#

• 向量组的秩等于极大无关组中向量的个数。
• 向量组中每个向量都可唯一地由极大无关组线性表示。
• 极大无关组不唯一，但所含向量个数相同（等于秩）。

6.3 求极大无关组的方法#

将向量按列排成矩阵，做初等行变换化为行最简形（RREF），主元列对应的原向量即为一个极大无关组。

7.1 齐次方程组#

齐次线性方程组 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的解向量：

• 解的线性组合仍是解。
• 基础解系是解空间的一个极大无关组，所有解都可由基础解系线性表示。

7.2 非齐次方程组#

非齐次线性方程组 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$：

• 有解 $\iff$$\mathbf{b}$ 可由 $A$ 的列向量组线性表示。
• 解的结构：$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的通解 = 特解 + $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的通解。 %%

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8.1 列向量表示#

设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 为列向量，$\boldsymbol{\beta}$ 为列向量，则

等价于矩阵乘法：

8.2 行向量表示#

若用行向量表示，则需要将系数矩阵转置：

8.3 矩阵乘法的列视角#

矩阵乘法 $AB$ 的结果的每一列，都是 $A$ 的列向量的线性组合，组合系数由 $B$ 的对应列给出。

例如：

其中 $A \mathbf{b}_j$ 是 $A$ 的列向量以 $\mathbf{b}_j$ 的分量为系数的线性组合。