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1. 定义#

2. 等价的性质#

3. 向量组等价的判别方法#

4. 向量组等价与矩阵等价的关系#

5. 向量组等价的充要条件总结#

设 $A = \{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$，$B = \{\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s\}$，均为 $n$ 维向量组，则以下条件等价：

1. $A$ 与 $B$ 等价（互相线性表示）。
2. $\operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(B)$。
3. $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A \cup B)$，且 $A$ 可由 $B$ 表示（或 $B$ 可由 $A$ 表示）。
4. $A$ 的极大无关组与 $B$ 的极大无关组等价。
5. 对任意向量 $\boldsymbol{\gamma}$，$\boldsymbol{\gamma}$ 可由 $A$ 线性表示 $\iff$$\boldsymbol{\gamma}$ 可由 $B$ 线性表示（即两个向量组表示的向量集合相同）。

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6. 典型例题#

例 1：判断向量组 $A = \{(1, 1, 1), (2, 3, 4)\}$ 与 $B = \{(0, 1, 2), (1, 2, 3)\}$ 是否等价。

解： 先判断 $B$ 能否由 $A$ 表示。

设 $\boldsymbol{\beta}_1 = x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2$：

前两式相减得 $x_2 = 1$，代入第一式得 $x_1 = -2$，代入第三式：$-2 + 4 = 2$ 成立。故 $\boldsymbol{\beta}_1 = -2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$。

设 $\boldsymbol{\beta}_2 = x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2$：

解得 $x_1 = -1, x_2 = 1$，成立。故 $\boldsymbol{\beta}_2 = -\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$。

因此 $B$ 可由 $A$ 线性表示。

再判断 $A$ 能否由 $B$ 表示。由于 $\operatorname{rank}(A) = 2$，$\operatorname{rank}(B) = 2$（两向量不成比例），且 $B$ 可由 $A$ 表示，是否自动推出 $A$ 可由 $B$ 表示？

我们需要验证。设 $\boldsymbol{\alpha}_1 = y_1 \boldsymbol{\beta}_1 + y_2 \boldsymbol{\beta}_2$：

第一式得 $y_2 = 1$，代入第二式 $y_1 + 2 = 1$ 得 $y_1 = -1$，代入第三式 $-2 + 3 = 1$ 成立。故 $\boldsymbol{\alpha}_1 = -\boldsymbol{\beta}_1 + \boldsymbol{\beta}_2$。

同理可得 $\boldsymbol{\alpha}_2 = -2\boldsymbol{\beta}_1 + \boldsymbol{\beta}_2$。因此 $A$ 也可由 $B$ 表示。

所以 $A$ 与 $B$等价。

例 2：$A = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$，$B = \{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\}$，判断等价性。

解： $\operatorname{rank}(A) = 3$，$\operatorname{rank}(B) =$ 计算行列式：

因此 $\operatorname{rank}(B) = 3$。

由于秩相等且均为 $\mathbb{R}^3$ 中的极大线性无关组，它们都能张成整个 $\mathbb{R}^3$，因此 $\operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(B) = \mathbb{R}^3$，故等价。

实际计算也可验证互相表示。

例 3：证明：若 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，则向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$ 与 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta}\}$ 等价。

证：

• 显然，$\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$ 中的每个向量可由 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta}\}$ 线性表示（取本身的系数为 $1$，其余为 $0$）。
• 反过来，$\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta}\}$ 中的每个向量：
  • 前 $m$ 个可由 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$ 自身表示。
  • $\boldsymbol{\beta}$ 由已知条件可表示。 因此两组等价。

推论：向量组与其线性无关的延伸组不等价（因为维数变化，张成空间不同），但与其线性相关的延伸组等价（如上例）。

例 4：判断以下命题真假： “若 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$，则 $A$ 与 $B$ 等价。”

解：假命题。反例：

秩均为 $1$，但 $A$ 不能表示 $B$（(0,1) 不能由 (1,0) 线性表示），故不等价。

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7. 常见易错点#

1. 向量组等价 ≠ 矩阵等价：向量组等价要求互相线性表示（列空间相等），矩阵等价只要求同型且秩相等。切勿混淆。

2. 向量组等价 ≠ 秩相等：秩相等是必要条件，但不是充分条件。必须验证互相表示。

3. 表示方向不可逆推：若 $A$ 可由 $B$ 表示，不能自动推出 $B$ 可由 $A$ 表示。必须两个方向都验证。

4. 向量组等价与向量个数无关：等价向量组可以有不同的向量个数（但秩相同）。例如 $\{(1,0)\}$ 与 $\{(1,0), (2,0)\}$ 等价（因为后者可由前者表示，且前者也可由后者表示），尽管个数不同。

5. 接长向量组与原向量组的关系：若原向量组 $A$ 与延伸组 $\tilde{A}$ 维数不同，它们一般不等价（因为张成的空间在不同维数空间中）。

8. 补充：等价的判定流程总结#

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给定两组向量 A 和 B
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  计算 rank(A) 和 rank(B)
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      ├── rank(A) ≠ rank(B)  ──→ 不等价 ❌
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      └── rank(A) = rank(B) = r
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       判断 A 能否由 B 表示
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       判断 B 能否由 A 表示
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               ├── 两个方向均可表示  ──→ 等价 ✅
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               └── 至少一个方向不能  ──→ 不等价 ❌