1.1 特征值与特征向量的定义#

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，若存在一个数$\lambda$ 和一个 $n$ 维非零列向量$\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$，使得：

则称：

• $\lambda$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值（eigenvalue）；
• $\boldsymbol{\alpha}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量（eigenvector）。

核心理解：矩阵 $\boldsymbol{A}$ 左乘特征向量 $\boldsymbol{\alpha}$，效果等同于将 $\boldsymbol{\alpha}$ 伸缩 $\lambda$ 倍，方向不变（$\lambda > 0$ 同向，$\lambda < 0$ 反向，$\lambda = 0$ 表示被压缩到零向量）。

1.2 等价变形#

这是一个关于 $\boldsymbol{\alpha}$ 的齐次线性方程组。因为 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$（特征向量要求非零），所以该齐次方程组必须有非零解，从而：

2.1 $k$ 倍的特征向量仍是特征向量#

若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，$k \neq 0$ 为任意非零常数，则 $k\boldsymbol{\alpha}$仍是属于 $\lambda$ 的特征向量。

证明：

注意：$k = 0$ 时得到的是零向量，不是特征向量（特征向量必须非零）。

2.2 特征向量只能属于一个特征值#

一个特征向量 $\boldsymbol{\alpha}$不能同时属于两个不同的特征值。

证明：若 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \lambda_1\boldsymbol{\alpha}$ 且 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha} = \lambda_2\boldsymbol{\alpha}$，则：

由于 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$，必有 $\lambda_1 = \lambda_2$。$\square$

结论：一个特征向量与一个特征值一一绑定。

2.3 属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是特征向量#

若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 都是 $\boldsymbol{A}$ 的属于同一特征值$\lambda$ 的特征向量，则它们的非零线性组合：

仍是属于 $\lambda$ 的特征向量。

证明：

注意：不同特征值的特征向量的线性组合一般不是特征向量。

3.1 特征值的求法#

3.2 特征向量的求法#

对每一个求出的特征值 $\lambda_0$，求其特征向量的步骤：

4.1 $n$ 阶矩阵有 $n$ 个特征根#

在复数域内，$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征方程 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}| = 0$ 的 $n$ 次多项式恰有 $n$ 个根（重根按重数计个数）。

即：$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（可以有重复）。

4.2 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 有相同的特征值#

因此 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 有相同的特征多项式和相同的特征值。

但特征向量一般不同：$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 的属于同一特征值的特征向量通常不同。

4.3 特征值之和等于矩阵的迹#

设 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的全部 $n$ 个特征值，则：

迹（trace）：主对角线元素之和。

4.4 特征值之积等于矩阵的行列式#

推论：

4.5 不同特征值对应的特征向量线性无关#

定理：若 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的互不相同的特征值，$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 分别是属于它们的特征向量，则：

推广：将每个特征值对应的线性无关特征向量合在一起构成的大向量组，仍是线性无关的。

即分别从每个特征值的特征向量组中各取一个线性无关组，合在一起整体线性无关。

4.6 $k$ 重特征值的线性无关特征向量个数不超过 $k$#

定理：若 $\lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 重特征值（即特征多项式含因子 $(\lambda - \lambda_0)^k$），则属于 $\lambda_0$ 的线性无关的特征向量的个数$\leqslant k$。

推论：

4.7 特征值与特征向量的对应关系表#

核心规律：

• 对矩阵做多项式运算，特征值做相同的多项式运算；
• 特征向量始终保持不变。

4.8 秩为 1 的矩阵的特征值#

若 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n}$ 满足 $r(\boldsymbol{A}) = 1$，则 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值为：

即：一个特征值等于迹（可能为零也可能非零），其余 $n-1$ 个特征值全为 $0$。

5.1 特征多项式不依赖于基的选择#

特征多项式 $|\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}|$ 由矩阵相似不变量决定。相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。

5.2 实矩阵的特征值#

• 实矩阵的特征多项式是实系数多项式；
• 特征值可能是复数（成对出现的共轭复数）；
• 若 $\lambda$ 是实矩阵的复特征值，则 $\bar{\lambda}$ 也是特征值。

5.3 对称矩阵的特殊性质#

• 实对称矩阵的特征值全是实数；
• 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

示例：求矩阵的特征值与特征向量#

（1）求特征值

解得：$\lambda_1 = 1,\;\lambda_2 = 3$。

（2）求 $\lambda_1 = 1$ 的特征向量

同解方程：$x_1 + x_2 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = -x_2$。

令 $x_2 = 1$，得基础解系 $\boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

属于 $\lambda_1 = 1$ 的全体特征向量：$\boldsymbol{x} = k_1\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$k_1 \neq 0$。

（3）求 $\lambda_2 = 3$ 的特征向量

同解方程：$x_1 - x_2 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = x_2$。

令 $x_2 = 1$，得基础解系 $\boldsymbol{\xi}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

属于 $\lambda_2 = 3$ 的全体特征向量：$\boldsymbol{x} = k_2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，$k_2 \neq 0$。