1.1 定义#

含有 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的二次齐次多项式（每一项都是二次的）称为二次型（quadratic form），其一般形式为：

用和式表示为：

其中 $a_{ij} = a_{ji}$（即交叉项系数满足对称性，交叉项 $x_i x_j$ 的系数写成 $2a_{ij}$）。

本质：二次型就是变量的二次齐次多项式，每一项的次数均为 2（平方项 $x_i^2$ 或交叉项 $x_i x_j$）。

2.1 矩阵表达式#

令 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^\mathrm{T}$，$\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵（$a_{ij} = a_{ji}$），则二次型可表示为：

其中 $\boldsymbol{A}$ 称为该二次型的矩阵。

展开验证：

2.2 二次型的矩阵是实对称矩阵#

二次型的矩阵必须是实对称矩阵。原因：$x_i x_j$ 与 $x_j x_i$ 是同一项，系数需要分配，约定取 $a_{ij} = a_{ji}$ 以保证矩阵对称。

对称化方法：若初始写出的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 不对称，则取：

此时 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵，且 $\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$。

口诀：二次型矩阵必对称，不平分对半取平均。

示例：将 $f(x_1, x_2) = x_1^2 + 3x_1x_2 + 2x_2^2$ 写为矩阵形式。

交叉项 $3x_1x_2$ 拆分为 $\frac{3}{2}x_1x_2 + \frac{3}{2}x_2x_1$，则：

验证：$\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = x_1^2 + \frac{3}{2}x_1x_2 + \frac{3}{2}x_2x_1 + 2x_2^2 = x_1^2 + 3x_1x_2 + 2x_2^2$ ✓

2.3 二次型的秩#

二次型 $f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 的秩就是其矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩：

含义：二次型的秩 = 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 = 非零特征值的个数（实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数）。

3.1 定义#

若一个二次型只含有平方项，不含任何交叉项（$x_i x_j,\; i \neq j$），即：

则称此形式为该二次型的标准形（standard form / canonical form）。

特征：标准形的矩阵是对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$。

3.2 二次型化成标准形是不唯一的#

通过不同的可逆线性变换，同一二次型可以化成不同的标准形，系数 $d_i$ 的大小和排列顺序不唯一。

但由惯性定理，标准形中正系数个数、负系数个数、零系数个数是唯一的（正负惯性指数不变）。

3.3 标准形的对角形矩阵表达式和秩#

标准形 $f = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \cdots + d_n y_n^2$ 的矩阵为对角矩阵：

二次型的秩 $r(f) = r(\boldsymbol{\Lambda})$ = 对角线上非零$d_i$ 的个数。

4.1 定义#

在实数域中，二次型可进一步化为标准形后，再做一次伸缩变换（单位化各系数），使得所有非零平方项的系数仅为 $+1$ 或 $-1$，即：

其中平方项全为 $+1$ 或 $-1$，称为二次型的规范形（normal form）。

特征：规范形的矩阵是对角矩阵，对角线元素仅为 $1, -1, 0$。

4.2 二次型化成规范形是唯一的#

与标准形不同，二次型的规范形是唯一的（在实数域中）。

惯性定理保证：不论通过何种可逆线性变换化为规范形，正项个数 $p$ 和负项个数 $q$ 始终不变。规范形由 $p, q$ 唯一确定。

4.3 规范形的矩阵表达式和秩#

规范形 $f = z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_{p+q}^2$ 的矩阵为：

二次型的秩 $r(f) = p + q$（即非零系数的个数）。

5.1 惯性指数#

二次型 $f$ 化为规范形 $f = z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_{p+q}^2$ 时：

$p$ 和 $q$ 由二次型唯一确定（惯性定理），与化规范形的方式无关。

5.2 符号差#

正惯性指数与负惯性指数之差称为符号差（signature）：

5.3 二次型的秩与惯性指数的关系#

即：二次型的秩 = 正惯性指数 + 负惯性指数。

零系数的个数 = $n - r(f) = n - p - q$。

5.4 二次型的分类#

6.1 定义#

设 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^\mathrm{T}$ 为旧变量，$\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n)^\mathrm{T}$ 为新变量，若存在矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得：

则称 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{y}$ 为一个从 $\boldsymbol{y}$ 到 $\boldsymbol{x}$ 的线性变换。代入二次型得：

此时二次型在新变量 $\boldsymbol{y}$ 下的矩阵为：

6.2 线性变换的种类#

6.3 线性变换的性质#

7.1 合同的定义#

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵$\boldsymbol{C}$，使得：

则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$合同（congruent），记作：

本质：合同关系描述的是同一二次型在不同基下的矩阵之间的关系（二次型经可逆线性变换后，新旧矩阵合同）。

7.2 合同的性质#

8.1 定义对比#

8.2 关系对比表#

8.3 四种关系的包含关系#

1
等价 (最宽泛，仅保秩)
2
  │
3
  ├── 相似 (保特征值、行列式、迹)
4
  │     └── 正交相似 (不仅保相似的全套，还保对称性、保内积)
5
  │
6
  └── 合同 (保对称性、秩、惯性指数)
7
        │
8
        └── 正交相似 ⊂ 合同 ∩ 相似
9
              (正交相似既相似又合同)

8.4 核心结论#

记忆口诀：正交相似最强，既相似又合同；相似合同都导出等价，等价关系最宽泛。