1.1 对任意非零向量 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$ 的分类#

任意取x的时候（x不全为零），二次型大于、小于、大于等于、小于等于0，就有定性。

注意： 半正定与正定的区别在于是否存在非零向量使二次型为零。 半负定与负定同理。 无任何有定性（既不正定也不负定也不半正定也不半负定）即为不定。

1.2 等价刻画（规范形）#

将 $f$ 化为规范形 $f = z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_{p+q}^2$：

2.1 标准形系数全部大于零#

存在可逆线性变换使 $f$ 化为标准形：

其中所有系数 $d_i > 0$（$i = 1, 2, \dots, n$）。

2.2 正惯性指数为 $n$，负惯性指数为 $0$#

即二次型的规范形为：

2.3 特征值全大于零#

实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值均满足：

2.4 规范形系数全为 $+1$#

2.5 充要条件汇总表#

性质 1：可逆线性变换保持正定性#

若 $f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 为正定二次型，经任意可逆线性变换$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{y}$（$|\boldsymbol{C}| \neq 0$）后，新二次型：

仍为正定二次型。

性质 2：合同保持有定性#

若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是合同的实对称矩阵（即 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}$，$\boldsymbol{C}$ 可逆），则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的正定性（正定、负定、半正定、半负定、不定均一致）。

原因：合同变换不改变惯性指数，而有定性由惯性指数决定。

性质 3：可逆线性变换不改变二次型的定性#

可逆线性变换不改变秩和正负惯性指数，因此不改变二次型的任何定性。

条件 1：合同于单位阵#

即存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}$。

条件 2：各阶顺序主子式全大于零#

设 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n}$，其 $k$ 阶顺序主子式 为：

则 $\boldsymbol{A}$ 正定的充要条件是该矩阵的所有顺序主子式全大于零：

注：顺序主子式是从左上角开始逐阶扩大的子式，不是任意主子式。这是最常用、最便于操作的判别方法。

条件 3：特征值全大于零#

条件 4：矩阵分解法（存在可逆矩阵的分解）#

$\boldsymbol{A}$ 正定 $\Longleftrightarrow$ 存在可逆矩阵$\boldsymbol{P}$，使得：

该条件也称为正定矩阵的”可逆分解”或”平方根分解”。特别地，可以取 $\boldsymbol{P}$ 为上三角矩阵（楚列斯基分解 Cholesky decomposition）。

5.1 必要条件汇总#

注意：主对角元素均大于零、行列式大于零单独都不充分。例如 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ 行列式 $= -3 < 0$ 不满足；而 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ 主对角元正但矩阵半正定（非正定）。

5.2 正定矩阵的运算保持#

若 $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵，则以下矩阵仍为正定：

5.3 正定矩阵的和#

若 $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵，$\boldsymbol{B}$ 为同阶正定（或半正定）矩阵，则：

原因：对任意 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{x}^\mathrm{T}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x} > 0 + 0 = 0$（若 $\boldsymbol{B}$ 半正定则第二项 $\geqslant 0$，总和仍 $> 0$）。

步骤 1：证明矩阵对称#

验证 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \boldsymbol{A}$，即 $a_{ij} = a_{ji}$。

正定矩阵的前提是实对称矩阵，非对称矩阵谈不上正定。

步骤 2：证明二次型恒正#

对于任意非零列向量 $\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_n)^\mathrm{T} \neq \boldsymbol{0}$，证明：

常用方法（任选其一即可）：

正定的判据（n 阶实对称矩阵）#

正定的必要条件（可以用来快速排除）#

以上必要条件单独不充分，但可用来快速判定非正定。