1.1 定义#

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，若存在一个可逆矩阵$\boldsymbol{P}$（$|\boldsymbol{P}| \neq 0$），使得：

则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$相似（similar），记作：

其中 $\boldsymbol{P}$ 称为相似变换矩阵。

本质理解：$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ 意味着 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 是同一个线性变换在两组不同基下的矩阵表示。$\boldsymbol{P}$ 就是两组基之间的过渡矩阵（基变换矩阵）。因此相似矩阵描述的是同一个线性变换，只是观察的坐标系不同。

1.2 可对角化#

特别地，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能相似于一个对角形矩阵$\boldsymbol{\Lambda}$，即存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使得：

则称 $\boldsymbol{A}$可对角化（diagonalizable）。

$\boldsymbol{\Lambda}$ 的对角线元素即为 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值。$\boldsymbol{P}$ 的列向量即为对应的 $n$ 个线性无关的特征向量。

2.1 相似必等价#

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$一定等价。

回顾：$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价 $\Longleftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$。

相似是等价的特殊情形（$\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{P}^{-1}$），所以相似 $\Rightarrow$ 等价，但反之不然。

2.2 相似关系的三大性质（等价关系）#

矩阵的相似关系是一种等价关系，满足：

2.3 「四相等」#

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则以下四个量分别相等：

2.4 角标相似#

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则以下三类矩阵也分别相似：

2.5 矩阵的乘法相似#

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则

（$k$ 为任意常数。）

证明：$\boldsymbol{P}^{-1}(k\boldsymbol{A})\boldsymbol{P} = k(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}) = k\boldsymbol{B}$。

2.6 矩阵的 $m$ 次幂相似#

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则对任意正整数 $m$：

证明：

（中间的 $\boldsymbol{P}\boldsymbol{P}^{-1} = \boldsymbol{E}$ 全部消去）

2.7 矩阵多项式的相似#

若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则对任意多项式 $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m$：

证明：

5.1 $\boldsymbol{A}$ 可对角化的充要条件#

$\boldsymbol{A}$ 可对角化（$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{\Lambda}$）$\Longleftrightarrow$$\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

等价条件：

• 每个 $k$ 重特征值恰有 $k$ 个线性无关的特征向量；
• 即：对每个特征值 $\lambda_i$，其几何重数（线性无关特征向量的个数）= 代数重数（特征多项式中根的重数）。

5.2 充分条件（可立即判定）#