性质 1：一个解加一个解仍是解（加法封闭）#

若 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的任意两个解，则 $\boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{\xi}_2$ 也是它的解。

证明：

一句话：两个齐次解相加，仍是齐次解。

性质 2：一个解的 $k$ 倍仍是解（数乘封闭）#

若 $\boldsymbol{\xi}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解，$k$ 为任意常数，则 $k\boldsymbol{\xi}$ 也是它的解。

证明：

一句话：齐次解的任意常数倍，仍是齐次解。

性质 3：解的线性组合也是解（线性组合封闭）#

若 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \dots, \boldsymbol{\xi}_s$ 都是齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解，$k_1, k_2, \dots, k_s$ 为任意常数，则它们的线性组合：

也是它的解。

证明（由性质1和性质2直接推出）：

一句话：齐次解的任意线性组合，仍是齐次解。

三个性质的底层原因#

以上三个性质都源于矩阵乘法的线性性：

当 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 且 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{y} = \boldsymbol{0}$ 时，右边 = $\boldsymbol{0}$，左边自然也是 $\boldsymbol{0}$。

推论：解空间#

由性质 1、2、3 可知，齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的全体解向量构成 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间，称为解空间（或零空间、核），记作：

其维数：

其中 $n$ 为未知数个数，$r(\boldsymbol{A})$ 为系数矩阵的秩。

3.1 非齐次解不再封闭#

结论：非齐次方程组的解集合不是向量空间，而是仿射空间（解空间的平移）。

性质 4：两个非齐次解的差是导出组的解（核心性质！）#

若 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2$ 都是非齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的解，则 $\boldsymbol{\eta}_1 - \boldsymbol{\eta}_2$ 是其导出组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解。

证明：

含义：非齐次方程组的任意两个解之间，相差一个齐次解。这揭示了非齐次解集的平移结构。

性质 5：一个非齐次特解 + 导出组的解 = 非齐次解#

若 $\boldsymbol{\eta}^*$ 是非齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的一个特解，$\boldsymbol{\xi}$ 是其导出组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的任意一个解，则 $\boldsymbol{\eta}^* + \boldsymbol{\xi}$ 也是非齐次方程组的解。

证明：

含义：拿到一个特解之后，加上导出组的任意解，得到的仍是非齐次解。

性质 6：非齐次的任意解 = 特解 + 导出组的某个解#

若 $\boldsymbol{\eta}$ 是非齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的任意一个解，则存在导出组的某个解 $\boldsymbol{\xi}$，使得：

其中 $\boldsymbol{\eta}^*$ 是某个取定的特解。

证明：由性质 4，令 $\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{\eta} - \boldsymbol{\eta}^*$，则 $\boldsymbol{\xi}$ 是导出组的解。$\square$

结论：性质 5 和性质 6 合起来说明——非齐次方程组的解集 = 特解 + 导出组的解空间（一个平移）。

性质 7：非齐次解的系数和为 1 的线性组合仍是解#

若 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \dots, \boldsymbol{\eta}_s$ 都是非齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的解，且 $k_1 + k_2 + \cdots + k_s = 1$，则：

也是非齐次方程组的解。

证明：

注：当系数和＝1 时称为仿射组合（affine combination），这说明非齐次解集对仿射组合封闭。

4.1 齐次线性方程组通解#

其中 $\{\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}\}$ 为基础解系，$r = r(\boldsymbol{A})$。

4.2 非齐次线性方程组通解#

其中：

• $\boldsymbol{\eta}^*$ 为非齐次的一个特解
• $\{\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}\}$ 为导出组的基础解系