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1.1 交换变换#

交换两个方程的位置。

记作：$R_i \leftrightarrow R_j$

例：

1.2 倍乘变换#

用一个非零常数 $k$ 乘某个方程的两边。

记作：$R_i \rightarrow kR_i \quad (k \neq 0)$

例：

1.3 倍加变换#

将一个方程的 $k$ 倍加到另一个方程上。

记作：$R_j \rightarrow R_j + kR_i$

例：

核心思想：这三种变换构成高斯消元法的基础，通过系统性地消去未知数，将方程组化为阶梯形（row echelon form），从而判断解的情况并求解。

矩阵语言的等价表述#

对线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$，初等变换等价于对增广矩阵 $\widetilde{\boldsymbol{A}} = (\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b})$ 进行 初等行变换：

注意：只能做行变换，不能做列变换（列变换会改变未知数的顺序，改变解）。

2.1 无解#

条件：$\boxed{r(\boldsymbol{A}) \neq r(\widetilde{\boldsymbol{A}})}$ 即：$r(\boldsymbol{A}) < r(\widetilde{\boldsymbol{A}})$（实际上只能差 1）

含义：

• 增广矩阵的秩比系数矩阵的秩大，说明化简后会出现 “0 = 非零常数” 的矛盾方程。
• 具体表现为：阶梯形矩阵中存在形如 $\begin{bmatrix}0 & 0 & \cdots & 0 & | & c\end{bmatrix}$ 的行，其中 $c \neq 0$。

示例：

第二行：$0x_1 + 0x_2 = 1$，矛盾 → 无解。

2.2 有唯一解#

条件：$\boxed{r(\boldsymbol{A}) = r(\widetilde{\boldsymbol{A}}) = n}$ 即：两个秩相等，且等于未知数个数。

含义：

• 系数矩阵列满秩，每个未知数都被”唯一确定”。
• 阶梯形矩阵中，每个变量对应一个主元，没有自由变量（free variable）。
• 主元个数 = $n$。

示例：

消元后：

$r(A) = r(\widetilde{A}) = 2 = n$ → 唯一解：$x_1 = 1,\; x_2 = 2$。

2.3 有无穷多个解#

条件：$\boxed{r(\boldsymbol{A}) = r(\widetilde{\boldsymbol{A}}) < n}$ 即：两个秩相等，但小于未知数个数。

含义：

• 方程组是相容的（consistent），但约束不够”紧”，存在 自由变量。
• 自由变量的个数 = $n - r(A)$。
• 解可以表示为：特解 + 齐次方程组的通解。

示例：

$r(A) = r(\widetilde{A}) = 2 < n = 3$ → 无穷多解。

自由变量 $x_3 = t$（$t$ 为任意常数），回代得：