做法#

把 $A$ 和 $E$ 并排写成增广矩阵 $(A \mid E)$，然后只做初等行变换，把左边化成 $E$，右边就自动变成 $A^{-1}$： $(A \mid E) \xrightarrow{\text{只做行变换把增广矩阵变成行简化阶梯形}} (E \mid A^{-1})$

如果增广矩阵的行简化阶梯形左边不是E，那么A不可逆（所以这个方法不需要提前判定A可逆）

为什么这样行得通？#

设行变换对应的初等矩阵依次为 $P_1, P_2, \dots, P_k$： $P_k \cdots P_2 P_1 \cdot A = E$ 这说明 $P_k \cdots P_1 = A^{-1}$。

同时对右边做同样的变换： $P_k \cdots P_1 \cdot E = P_k \cdots P_1 = A^{-1}$

例子#

求 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆：

所以 $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$。

关键点：全程只能做行变换，不能混入列变换。因为 $PAQ = E$ 不能推出 $Q$ 就是逆

初等变换解简单矩阵方程AX=B#

有两种情况，做法不同 关键在于：行变换是左乘初等矩阵，列变换是右乘。