1. 定义#

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 的某一邻域内有定义，$l$ 为从 $P$ 出发的射线（是有方向的），$\boldsymbol e_l=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 为与 $l$ 同方向的单位向量，则函数在点 $P$ 沿方向 $l$ 的方向导数为：

2. 计算公式#

若函数在点处可微，则方向导数存在，且

• 二元：

3. 几何意义#

描述函数在某点沿指定方向变化的快慢，是函数在该点沿该方向的变化率。是一个数。

1. 定义#

函数在某点的梯度是一个向量，由各偏导数构成：

• 二元函数 $z=f(x,y)$ 的梯度：

其中 $\nabla$ 为哈密顿算子。

2. 梯度与方向导数的关系#

方向导数可表示为梯度与方向单位向量的点积：

$\theta$ 为梯度与方向 $l$ 的夹角。

3. 梯度的核心性质#

1. 方向： 梯度方向是函数在该点增长最快的方向； 负梯度方向是函数下降最快的方向。
2. 模长： 梯度的模 $|\mathrm{grad}\,f|$ 是该点最大方向导数的值。
3. 与等高线/等值面的关系： 梯度方向垂直于过该点的等高线（或等值面），并指向函数值增大的一侧。

定义#

对于二元函数 $z=f(x,y)$，取函数值为常数$C$，则满足 $f(x,y)=C$ 的点 $(x,y)$ 在 $xOy$ 平面上构成的曲线，称为函数 $z=f(x,y)$ 的等值线（也叫等高线）。

等值线的法向量#

等值线 $f(x,y)=C$ 在点 $(x,y)$ 处的法向量为： $\boldsymbol n=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ 这恰好就是梯度$\mathrm{grad}\,f$。

梯度与等值线的关系#

1. 梯度方向垂直于等值线 梯度 $\nabla f$ 是等值线 $f(x,y)=C$ 在该点的法向量方向。
2. 梯度指向函数值增大的一侧 沿着梯度方向走，函数值 $f(x,y)$ 会递增； 逆着梯度方向走，函数值递减。
3. 几何直观 - 等值线越密集的地方，函数变化越剧烈，梯度模 $|\nabla f|$ 越大； - 等值线越稀疏的地方，函数变化越平缓，梯度模越小。