一、基本定义#
- 行列式记作：$$
\det(A) \quad 或 \quad |A|
- 几何意义：表示线性变换的有向体积缩放因子
二、按行（列）展开（拉普拉斯展开）#
按第 i 行展开：
∣A∣=j=1∑naijAij其中：
Aij=(−1)i+jMij
- Mij：去掉第 i 行第 j 列后的子式
👉 要点：
- 可按任意行或列展开
- 优先选 0 多的行/列
三、三大基本变换（核心）#
1. 行（列）交换#
交换两行⇒∣A∣→−∣A∣
2. 行（列）倍乘#
某一行乘k⇒∣A∣→k∣A∣👉 推论（提取公因子）：
∣A∣=k⋅∣A′∣
3. 行（列）加法#
Ri→Ri+kRj⇒∣A∣不变👉 最重要的化简工具
四、重要推论#
1. 两行（列）相同#
⇒∣A∣=0
2. 两行（列）成比例#
⇒∣A∣=0
3. 某一行（列）全为 0#
⇒∣A∣=0
4. 线性性（只对一行/列成立）#
例如对第 i 行：
∣⋯,ai+bi,⋯∣=∣⋯,ai,⋯∣+∣⋯,bi,⋯∣⚠️ 注意：
∣A+B∣=∣A∣+∣B∣
5. 转置不变#
∣AT∣=∣A∣
五、乘法性质（重点）#
1. 行列式乘法#
∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣
2. 幂#
∣An∣=∣A∣n
3. 单位矩阵#
∣E∣=1
4. 逆矩#
∣A−1∣=∣A∣1,(∣A∣=0)
六、特殊类型行列式#
1. 上三角 / 下三角#
∣A∣=i=1∏naii
2. 对角矩阵#
∣A∣=i=1∏naii
七、结构技巧#
1. 分块三角矩阵#
A∗ 0B=∣A∣⋅∣B∣
八、计算策略#
优先顺序：
- 找 0 多的行/列展开
- 用行变换造 0
- 化为三角行列式
- 提取公因子
- 利用对称结构
九、易错点总结#
- 交换行才变号，加法不变
- 线性性只对一行/列成立
- ∣A+B∣=∣A∣+∣B∣
- 展开符号：
(−1)i+j
十、速记口诀#
换行变号，倍乘倍；
加行不变，同行零；
三角对角乘，乘法可分离；
可逆取倒数。
