增量#

全微分的定义#

在一元函数里，函数的微分就是自变量在增加一点点的时候，函数值增加的那一点点的大小。但是在二元函数里面。 全微分就成了向四面八方增加一点点的时候函数增加的大小。

一元函数用切线来近似函数值的变化。二元函数用切平面来近似函数值的变化。

全微分是 x、y 同时发生微小变化时，函数值的线性近似增量。

全微分确定的是在某一个点的类似于切平面的东西。当它在这一个点向四面八方移动一点点的时候，会近似在这个切平面上移动一点点

• 真实曲面是弯的，往不同方向走，增减不一样
• 但我们用切平面去 “贴” 在这个点附近
• 只要移动得足够小，曲面 ≈ 切平面

可微分和连续的关系#

二元函数如果在某一点可以微分，那么它在这一点就是连续的。

可微分和偏导的关系#

1. 如果函数在某一点是可微分的，那么该函数在这一点的偏导数必定存在。并且这一点的全微分是

2. 如果函数的偏导数在某一点连续（函数的偏导数在某一点的某个邻域内存在，在这个邻域内有定义）那么函数在这一点是可微分的。

偏微分的叠加原理#