1.1 定义#

设 $\boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \dots, a_n)^\mathrm{T}$，$\boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \dots, b_n)^\mathrm{T}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的两个列向量，则它们的内积（inner product）定义为：

也可用矩阵乘法表示为：

1.2 别称#

• 点乘（dot product）
• 数量积（scalar product）
• 点积

本质：内积的结果是一个数（标量），不是向量。

2.1 非负性（正定性）#

且 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$。

向量与自身的内积非负，且仅当向量为零向量时取零。

2.2 对称性（交换律）#

2.3 数乘结合律#

2.4 分配律（线性性）#

性质汇总#

这些性质表明内积是一个对称正定双线性型。

3.1 定义#

向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的范数（norm）或长度（length）定义为：

几何意义：向量的欧几里得长度，即从原点到点 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 的距离。

3.2 单位向量#

若 $\|\boldsymbol{\alpha}\| = 1$，则称 $\boldsymbol{\alpha}$ 为单位向量（unit vector）。

3.3 单位化（归一化）#

将任意非零向量 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$ 化为单位向量的过程称为单位化或归一化（normalization）：

则 $\|\boldsymbol{\eta}\| = 1$，$\boldsymbol{\eta}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}$ 同方向。

4.1 正交的定义#

若两个向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 的内积为零，即：

则称 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$正交（orthogonal），记作 $\boldsymbol{\alpha} \perp \boldsymbol{\beta}$。

通俗理解：正交就是垂直。

4.2 零向量与任意向量正交#

零向量 $\boldsymbol{0}$ 与任意向量都正交：

4.3 与自身正交的向量仅有零向量#

若 $\boldsymbol{\alpha}$ 与自身正交，即 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}) = 0$，则由内积的非负性可知 $\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$。

即：$\boldsymbol{\alpha} \perp \boldsymbol{\alpha} \;\Longleftrightarrow\; \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$。非零向量不可能与自身正交。

5.1 正交向量组#

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中的向量两两正交，即：

则称该向量组为正交向量组（orthogonal set）。

5.2 特殊情形#

• 由一个非零向量组成的向量组，自然满足两两正交的条件（因为没有两个向量可比较），视为正交向量组。
• 若正交向量组中的向量均为零向量，虽然没有实际意义，但形式上零向量与任意向量正交。

通常我们关注的是非零正交向量组。

5.3 标准正交向量组（单位正交向量组）#

若正交向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中的每个向量都是单位向量（即 $\|\boldsymbol{\alpha}_i\| = 1$），则称之为：

• 标准正交向量组（orthonormal set）
• 单位正交向量组
• 规范正交向量组

即同时满足：

6.1 核心性质：正交向量组必线性无关#

若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是非零的正交向量组，则它们必然线性无关。

证明：设 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \boldsymbol{0}$。用 $\boldsymbol{\alpha}_i$ 与等式两边做内积：

由于 $\boldsymbol{\alpha}_i \neq \boldsymbol{0}$，有 $(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_i) > 0$，故 $k_i = 0$。由 $i$ 任意性得所有系数为零，证毕。

意义：正交性比线性无关更强——正交必然线性无关，反之不然。

7.1 目的#

给定一组线性无关的向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$，构造一组与之等价的正交向量组$\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_s$（并可进一步单位化得到标准正交向量组）。

7.2 正交化公式#

7.3 单位化（得到标准正交向量组）#

完成正交化后，对每个 $\boldsymbol{\beta}_i$ 进行单位化：

则 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \dots, \boldsymbol{\eta}_s$ 为标准正交向量组。

7.4 施密特正交化的性质#

• 正交化不改变向量组张成的子空间：$\operatorname{span}\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s\} = \operatorname{span}\{\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s\}$；
• 单位化也不改变张成空间；
• 结果不唯一（依赖于线性无关向量组的选取顺序）。

7.5 示例#

将 $\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 正交化。

正交化：

单位化：

验证：$(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2) = 0$ ✓，$\|\boldsymbol{\eta}_1\| = \|\boldsymbol{\eta}_2\| = 1$ ✓。

8.1 定义#

若 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足：

（即 $\boldsymbol{A}$ 的转置等于其逆：$\boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \boldsymbol{A}^{-1}$），则称 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵（orthogonal matrix）。

等价表述：$\boldsymbol{A}$ 的列（行）向量组是 $\mathbb{R}^n$ 的标准正交基。

性质 1：行列式为 $\pm 1$#

若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则：

证明：由 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}$，取行列式得 $|\boldsymbol{A}^\mathrm{T}|\cdot|\boldsymbol{A}| = |\boldsymbol{E}|$，即 $|\boldsymbol{A}|^2 = 1$，故 $|\boldsymbol{A}| = \pm 1$。

性质 2：可逆且逆等于转置#

若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则 $\boldsymbol{A}$可逆，且：

从而：

性质 3：特征值成对出现#

若 $\lambda$ 是正交矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则：

即正交矩阵的特征值必满足 $\lambda \cdot \frac{1}{\lambda} = 1$。此外，实正交矩阵的特征值的模长为 1（$|\lambda| = 1$，可以是 $\pm 1$ 或共轭复根 $e^{\pm i\theta}$）。

性质 4：转置、伴随、逆仍是正交矩阵#

若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则以下矩阵仍是正交矩阵：

原因：

• $(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathrm{T} = \boldsymbol{E}$；
• $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^\mathrm{T}$，而 $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 已知是正交矩阵；
• $\boldsymbol{A}^* = |\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1} = \pm \boldsymbol{A}^{-1}$，而 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 是正交矩阵。

性质 5：正交矩阵的乘积仍是正交矩阵#

若 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则：

证明：

性质 6：保内积性#

若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则对任意向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$：

证明：

含义：正交变换不改变向量之间的内积，因此也不改变向量之间的夹角。

性质 7：保长度性#

若 $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵，则对任意向量 $\boldsymbol{\alpha}$：

证明（由保内积性直接推出）：

含义：正交变换不拉伸也不压缩向量，仅做旋转或反射（长度不变）。

性质 8：正交矩阵的列（行）向量组为标准正交向量组#

这是正交矩阵的等价定义：

即：将 $\boldsymbol{A}$ 按列分块为 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n)$，则：

同理，行向量组也是标准正交向量组。

验证方法：$\boldsymbol{A}^\mathrm{T}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}$ 的矩阵乘法本质上就是在计算列向量两两之间的内积。