1.1 解的结构#

齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$（$\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$，$r(\boldsymbol{A}) = r$），设 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 为它的一个基础解系，则其通解为：

通解 = 基础解系的任意线性组合。$n - r$ 就是自由变量的个数，也是解空间的维数。

1.2 两种情形#

齐次方程组不可能无解，零解永远存在。

2.1 解的结构（核心定理）#

对于非齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$（$\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$），若它有解（相容），设：

• $\boldsymbol{\eta}^*$ 为它的一个特解
• $\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 为其导出组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的一个基础解系

则非齐次方程组的通解为：

结构含义：非齐次通解 = 一个特解 + 导出组的齐次通解。 几何上，它是齐次解空间沿特解方向平移得到的仿射空间。

2.2 三种情形总表#

第一步：写出增广矩阵#

将方程组写成增广矩阵形式：

第二步：行变换化为简化行阶梯形#

对增广矩阵 $\widetilde{\boldsymbol{A}}$ 进行初等行变换，直接化为简化行阶梯形（RREF）。

为什么要一步到位化成 RREF？ 若只化到普通阶梯形还需回代，RREF 可以直接读出同解方程组，方便同时求特解和基础解系。

第三步：求秩并判断解的个数#

从阶梯形矩阵中读出：

• $r(\boldsymbol{A})$ = 系数矩阵部分的秩（非零行行数，或主元个数）
• $r(\widetilde{\boldsymbol{A}})$ = 增广矩阵整体的秩

然后判定：

技巧：先看简化行阶梯形有没有 $(0, 0, \dots, 0 \mid c)$ 且 $c \neq 0$ 的行，有则立即判定无解。

第四步：写出同解方程组#

从简化行阶梯形直接写出同解方程组：

• 将主元变量保留在等号左边；
• 将自由变量移到等号右边（当作参数）。

得到的方程组中，每个主元变量都被自由变量显式表示。

第五步：求特解 $\boldsymbol{\eta}^*$#

在非齐次同解方程组中，令所有自由变量 = 0，代回求出主元变量的值，即得到一个特解$\boldsymbol{\eta}^*$。

原理：令自由变量取 0 是最简单的选择，保证得到一个确切的非齐次解。

第六步：求导出组的基础解系并写出通解#

(a) 求导出组的基础解系

将同解方程组中的常数项改为 0（得到导出组的同解方程组），依次取下列 $n - r$ 组自由变量的值：

每组值代入导出组的同解方程组，求出对应主元变量的值，得到一个解向量。共得 $n - r$ 个解向量 $\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$，即为基础解系。

(b) 写出通解

第一步：写出系数矩阵#

将方程组写成系数矩阵形式（不需要增广，因为常数项全为零）：

第二步：行变换化为简化行阶梯形#

对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行初等行变换，化为简化行阶梯形（RREF）。

第三步：求秩并判断解的个数#

从简化行阶梯形中读出 $r(\boldsymbol{A})$（主元个数 = 非零行行数），并判定：

$n$ 为未知数个数。自由变量的个数 = $n - r(\boldsymbol{A})$。

第四步：写出同解方程组#

从简化行阶梯形矩阵直接读出同解方程组：

• 将主元变量保留在等号左边；
• 将自由变量移到等号右边（当作参数）。

此时每个主元变量都被自由变量显式表示。

第五步：求基础解系并写出通解#

(a) 求基础解系

自由变量共有 $n - r$ 个，依次令它们取下列 $n - r$ 组值：

每组值代入同解方程组，求出对应主元变量的值，得到一个解向量。共得 $n - r$ 个解向量：

它们即构成一个基础解系。

为什么线性无关？ 这组向量在自由变量的位置上恰好构成 $n-r$ 阶单位矩阵，天然满秩，因而线性无关。

(b) 写出通解

齐次方程组的通解为：

第一步：增广矩阵#

第二步：行变换 → RREF#

第三行出现 $(0, 0, 0, 0 \mid -2)$，矛盾。

第三步：判定#

$r(\boldsymbol{A}) = 2$（系数部分有两个主元第 1、4 列），$r(\widetilde{\boldsymbol{A}}) = 3$（增广部分有非零第三行）。

$2 \neq 3 \;\Longrightarrow\;$无解。

第一步：增广矩阵#

第二步：行变换 → RREF#

化为简化行阶梯形 ✓。

第三步：求秩并判定#

• $r(\boldsymbol{A}) = 2$（两个主元，第 1、2 列）
• $r(\widetilde{\boldsymbol{A}}) = 2$（无矛盾行）
• $n = 3$

$2 = 2 < 3 \;\Longrightarrow\;$有无穷多解。继续往下。

第四步：写出同解方程组#

从 RREF 直接读出：

主元变量：$x_1, x_2$；自由变量：$x_3$。$n - r = 1$。

第五步：求特解 $\boldsymbol{\eta}^*$#

令自由变量 $x_3 = 0$，代入同解方程组：

得特解：

第六步：求导出组基础解系并写出通解#

(a) 求导出组基础解系

将同解方程组常数项改为 0，得导出组同解方程组：

令自由变量 $x_3 = 1$，得：

此即基础解系（只有一个向量）。

(b) 写出通解

写成坐标形式：

第一步：系数矩阵#

第二步：行变换 → RREF#

第三步：判定#

主元在第 1、3、4 列 → $r(\boldsymbol{A}) = 3$，$n = 4$。

$3 < 4 \;\Longrightarrow\;$有无穷多解（有非零解）。自由变量个数 = $n - r = 1$。

第四步：同解方程组#

从 RREF 读出：

主元变量：$x_1, x_3, x_4$；自由变量：$x_2$。

第五步：求基础解系并写通解#

令自由变量 $x_2 = 1$，代入同解方程组：

得基础解系（仅一个向量）：

通解：

特解的求法不唯一#

令所有自由变量 = 0 只是最简单的做法。自由变量取任意常数都将得到一个特解，不同取值得到不同特解，但通解的整体集合不变。

齐次方程组的求解#

若题目本身就是齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，则省去「求特解」这一步：

• 直接对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$（不需要增广，因为常数项全是 0）行变换 → RREF；
• 写出同解方程组，依次给自由变量赋值，求出基础解系；
• 通解 = 基础解系的线性组合。

「导出组」一词的由来#

非齐次方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的导出组是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$。之所以叫「导出组」，是因为非齐次解之间的差会导出齐次解，从而导出整个解的结构。

求基础解系时自由变量取法的本质#

依次取 $(1,0,\dots,0)^\mathrm{T}, (0,1,\dots,0)^\mathrm{T}, \dots$ 是为了保证得到的向量组在自由变量分量上构成单位矩阵，从而天然线性无关。只要是 $n-r$ 组线性无关的自由变量取值（即它们排成的 $(n-r)\times(n-r)$ 矩阵可逆），得到的解向量组就线性无关，都是合法的基。