步骤 1：写出系数矩阵并化为简化行阶梯形#

对系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行初等行变换，化为简化行阶梯形矩阵（Reduced Row Echelon Form, RREF）。

简化行阶梯形的要求：

• 每个主元 = 1；
• 主元所在列的其余元素全为 0；
• 主元位置随行号严格右移；
• 零行在下方。

步骤 2：确定主元变量与自由变量#

• 主元变量：主元所在的列对应的未知数，共 $r$ 个。
• 自由变量：非主元列对应的未知数，共 $n - r$ 个。

步骤 3：写出同解方程组#

从简化行阶梯形矩阵直接读出同解方程组，将主元变量用自由变量表示出来（自由变量移到等式右边）。

步骤 4：构造基础解系#

依次令自由变量取下列 $n - r$ 组值：

（即依次令一个自由变量为 1，其余自由变量为 0）

每组值代入同解方程组，求出对应的一组主元变量的值，从而得到一个解向量。共得到 $n - r$ 个解向量，它们即构成一个基础解系。

步骤 5：写出通解#

齐次方程组的通解为：

示例演示#

求解齐次方程组：

解：

(1) 写出系数矩阵并化为简化行阶梯形：

(2) 主元列：第 1、3、4 列 → 主元变量 $x_1, x_3, x_4$；自由变量：$x_2$。$r = 3$，$n - r = 1$。

(3) 同解方程组：

(4) 令自由变量 $x_2 = 1$，得解向量：

(5) 通解：$\boldsymbol{x} = k\boldsymbol{\xi} = k\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，$k \in \mathbb{R}$。

方法 1：定义法#

设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 为一组向量，若方程

只有零解$k_1 = k_2 = \cdots = k_s = 0$，则该向量组线性无关；否则线性相关。

方法 2：矩阵秩法（列向量情形）#

将向量组按列排成矩阵 $\boldsymbol{B} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s)$，则：

即：矩阵的秩等于向量的个数（列满秩）。

方法 3：矩阵秩法（行向量情形）#

将向量组按行排成矩阵，则线性无关 $\Longleftrightarrow$ 行秩 = 向量个数（行满秩）。

方法 4：可逆矩阵与秩不变原理 ⭐#

核心结论：用一个可逆矩阵左乘（或右乘）一个矩阵，不改变该矩阵的秩。

其中 $\boldsymbol{P}$、$\boldsymbol{Q}$ 为可逆矩阵。

应用于判定向量组的线性无关性：

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 构成矩阵 $\boldsymbol{B}$，若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使得：

• $\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关（或秩 = $s$），则原向量组也线性无关。

通俗理解：对矩阵进行初等行变换（本质是左乘一系列初等矩阵，初等矩阵可逆）不改变矩阵的秩。因此将 $\boldsymbol{B}$ 通过行变换化为阶梯形，观察非零行的行数（= 秩）是否等于 $s$，即可判定原向量组是否线性无关。

方法 5：特殊结构法（基础解系常用）#

在求基础解系时，构造的解向量中，自由变量对应的位置恰好构成单位矩阵。例如，若自由变量为 $x_2, x_5$，构造的解向量在这些位置上为：

该 $2 \times 2$ 矩阵满秩，故解向量组天然线性无关，无需额外判定。

性质 1：不唯一#

一个齐次线性方程组的基础解系不唯一。解空间的任何一组基底都是基础解系。

例如：若 $\{\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2\}$ 是基础解系，则 $\{\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_1 + \boldsymbol{\xi}_2\}$ 通常也是。

性质 2：所含向量个数相等#

同一齐次线性方程组的任意两个基础解系所含解向量的个数相等，均为：

这是解空间维数的不变性决定的（基底中向量的个数 = 空间的维数，是唯一确定的）。

性质 3：不同基础解系可相互线性表示#

设 $\{\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_s\}$ 和 $\{\boldsymbol{\eta}_1, \dots, \boldsymbol{\eta}_s\}$ 是同一方程组的两个基础解系，则：

• 每个 $\boldsymbol{\xi}_i$ 可由 $\boldsymbol{\eta}_1, \dots, \boldsymbol{\eta}_s$ 线性表示；
• 每个 $\boldsymbol{\eta}_j$ 可由 $\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_s$ 线性表示。

本质：两个基础解系是同一解空间的两组不同基底，基底之间可以通过可逆矩阵互相转换（过渡矩阵）。

性质 4：基础解系存在的前提（有非零解）#

齐次线性方程组有非零解$\Longleftrightarrow$$r(\boldsymbol{A}) < n$$\Longleftrightarrow$ 基础解系存在（且非空）。

• 当 $r(\boldsymbol{A}) = n$ 时，方程组只有零解，解空间为零空间 $\{\boldsymbol{0}\}$，此时不存在基础解系（或说基础解系为空集，不含任何向量）。
• 当 $r(\boldsymbol{A}) < n$ 时，存在非零解，基础解系包含 $n - r(\boldsymbol{A}) \geq 1$ 个向量。

性质 5：基础解系 + 通解#

若 $\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 是基础解系，则齐次方程组的全部解（通解）为：

且此表示唯一（因为基底表示唯一）。

性质 6：自由变量取法的灵活性#

求基础解系时，自由变量不一定要取标准基向量 $(1,0,\dots)^\mathrm{T}$ 等，只要保证所取的 $n-r$ 组向量在自由变量分量上构成的 $(n-r) \times (n-r)$ 子矩阵可逆（满秩），即可保证得到的解向量组线性无关。