伴随矩阵法#

当A可逆时，$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$（矩阵的伴随矩阵除以矩阵的行列式等于逆矩阵）

初等行变换法#

2.12初等行变换法求逆矩阵

矩阵逆的逆是它本身#

$(A^{-1})^{-1}=A$ 证明： $AA^{-1}=E$$|A||A^{-1}|=|E|=1$$A \ne 0$，$A$可逆。同时说明$A^{-1} \ne 0$，$A^{-1}$可逆，$(A^{-1})^{-1}=A$

矩阵逆的转置等于矩阵转置的逆#

$(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$ 证明： $|A| \ne 0$$|A^{T}| \ne 0$，$A^{T}$可逆 $A^{T}(A^{-1})^{T}=(A^{-1}A)^{T}=E^{T}=E$ 所以$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

k倍的矩阵的逆等于k分之一乘矩阵的逆#

$(kA)^{−1}=\frac{1}{k}A^{−1} \quad (k≠0)$ 证明： $|A| \neq 0$$|k A|=k^{n}|A| \neq 0$$k A \cdot \frac{1}{k} A^{-1}=A A^{-1}=E$$(k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1}$

TIP

k朝外提，$|k A|=k^{n}|A|, \quad(k A)^{*}=k^{n-1} A^{*},(k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1}$

矩阵伴随的逆等于矩阵逆的伴随等于矩阵除以矩阵的行列式#

$(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}=\frac{1}{|A|}A$ 证明：

TIP

角标计算互换$\left(A^{\top}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\top}, \quad\left(A^{*}\right)^{\top}=\left(A^{\top}\right)^{*}, \quad\left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}$

矩阵乘积的逆等于反序的矩阵的逆的乘积#

$(AB)^{−1}=B^{−1}A^{−1}$ 证明：

TIP

角标拿进乘积里$(AB)^{−1}=B^{−1}A^{−1}$, $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$, $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$只有转置能拿进加法里$(A + B)^T = A^T + B^T$

矩阵的m次的逆等于矩阵的逆的m次#

$(A^{m})^{-1}=(A^{-1})^{m}$ 证明（以二次为例）：

矩阵逆的行列式等于矩阵行列式分之一#

$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$ 证明：

矩阵的逆等于矩阵的伴随除以矩阵的行列式#

$A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*}$