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1.1 向量组秩的定义#

设向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$，若 $A$ 的极大线性无关组中含有 $r$ 个向量，则称 $r$ 为向量组 $A$ 的秩，记作：

1.2 特殊情形#

• 若向量组中全为零向量，则不存在极大无关组（或约定极大无关组为空集），秩定义为 $0$。
• 若向量组线性无关，则它本身就是自己的极大无关组，秩等于向量个数。

1.3 秩的直观意义#

秩表示向量组中“真正独立的方向数”，即张成空间的维数：

例如：

• $\mathbb{R}^3$ 中三个共面向量的秩为 $2$（张成一个平面）。
• $\mathbb{R}^n$ 中 $n$ 个线性无关向量的秩为 $n$（张成全空间）。

2.1 极大无关组不唯一，但秩唯一#

• 同一向量组的不同极大无关组所含向量个数相同，这个公共的个数就是秩。
• 换言之，无论选取哪个极大无关组，其向量个数都等于秩，秩由向量组自身唯一确定。

2.2 为什么唯一？#

设有两个极大无关组 $B_1$ 和 $B_2$，它们互相等价（因为都等价于原向量组）。 $B_1$和$B_2$都线性无关又能互相表示，那么$B_1$和$B_2$的向量个数一样。 又因为他们都是极大无关组，所以两个极大无关组的向量个数就是向量组的秩，是相同的、唯一的。

2.3 唯一性的具体表现#

• 向量组的秩不依赖于向量顺序。
• 向量组的秩是线性不变量（在初等变换下保持不变）。
• 矩阵的秩唯一，因此与之相关的行秩、列秩也唯一。

3.1 线性无关与秩#

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关 $\iff$$\operatorname{rank}(A) = m$（秩等于向量个数）。

3.2 线性相关与秩#

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关 $\iff$$\operatorname{rank}(A) < m$（秩小于向量个数）。

3.3 特殊情况#

• 含零向量的向量组：若某向量为零向量，则秩 $\leq m-1$（零向量不影响秩，但使向量组必相关）。
• 部分组与整体组的秩： $$\operatorname{rank}(\text{部分组}) \leq \operatorname{rank}(\text{整体组})$$ 部分相关不能推出整体相关，但部分组的秩 ≤ 整体组的秩恒成立。

3.4 秩与维数的关系#

• $n$ 维向量组的秩 $\leq n$（因为张成的空间维数不能超过 $n$）。
• 向量组的秩 $\leq$ 向量个数（因为极大无关组不能超过原向量组个数）。
• 若向量组线性无关，则秩 = 向量个数 ≤ 维数。

4.1 秩在表示下的不等式#

设向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 可由向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性表示，则：

证明思路：$A$ 的极大无关组可由 $B$ 的极大无关组线性表示，而线性无关组由另一组线性表示时，个数不能超过后者的秩。

4.2 等价向量组的秩相等#

若向量组 $A$ 与 $B$ 等价（互相线性表示），则：

注意：反之不成立——秩相等不能推出等价（需要互表示）。 （比如A：a（1,0）和B：b（0,1）这两个向量组，r都是1但不能互表示，不等价）

4.3 秩相等 + 单方向表示 ⇒ 等价#

若 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$ 且 $A$ 可由 $B$ 线性表示（或 $B$ 可由 $A$ 线性表示），则 $A$ 与 $B$等价。

证明：设 $r = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。取 $A$ 的极大无关组 $A_0$，$B$ 的极大无关组 $B_0$。由 $A$ 可由 $B$ 表示，则 $A_0$ 可由 $B$ 表示，进而可由 $B_0$ 表示。又 $|A_0| = |B_0| = r$（这个绝对值号表示向量组的向量个数），且 $A_0$ 线性无关，故 $A_0$ 与 $B_0$ 等价，从而 $A$ 与 $B$ 等价。

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4.4 向量组并集的秩#

设 $A$ 和 $B$ 是两个向量组，则：

且有以下不等式：

特别地：

• 若 $A$ 与 $B$ 等价，则 $\operatorname{rank}(A \cup B) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$。
• 若 $\operatorname{span}(A) \cap \operatorname{span}(B) = \{\mathbf{0}\}$，则 $\operatorname{rank}(A \cup B) = \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$。

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5.1 秩与极大无关组#

• 秩 = 极大无关组中向量的个数。
• 极大无关组是秩的“具体实现”——找到秩就找到了极大无关组，反之亦然。

5.2 秩与线性无关组的关系#

• 向量组中任意线性无关部分组的向量个数 ≤ 秩。
• 若某个线性无关部分组的向量个数等于秩，则该部分组就是极大无关组。
• 反之，极大无关组一定是线性无关组，且个数达到最大值（秩）。

5.3 扩充定理#

设 $A$ 的秩为 $r$，若 $A$ 中有一个线性无关的部分组 $B$ 含有 $k$ 个向量（$k < r$），则可以从 $A$ 中再选出 $r - k$ 个向量，与 $B$ 一起构成 $A$ 的一个极大无关组。

5.4 秩与向量组张成空间维数的关系#

因此：

• 秩为 $r$ 的向量组张成一个 $r$ 维子空间。
• 该子空间的任意一组基都是该向量组的一个极大无关组（当该向量组本身就是该子空间的一组基时，向量组本身也是极大无关组）。

6.1 行秩的定义#

矩阵 $A_{m \times n}$ 的行向量组的秩称为矩阵的行秩。

6.2 列秩的定义#

矩阵 $A_{m \times n}$ 的列向量组的秩称为矩阵的列秩。

6.3 核心定理：行秩 = 列秩 = 矩阵的秩#

对于任意矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，有：

其中 $\operatorname{rank}(A)$ 是矩阵的秩（即最高阶非零子式的阶数，或行最简形中主元行的数目）。

证明要点：

• 初等行变换不改变行秩，也不改变列秩（因为行变换保持列向量间的线性关系）。
• 行最简形中，非零行的数目 = 主元列的数目。
• 非零行对应原矩阵行向量组的一个极大无关组，主元列对应原矩阵列向量组的一个极大无关组。
• 两者数目相等，故行秩 = 列秩。

6.4 求矩阵秩的方法#

1. 初等行变换法：化为行阶梯形，非零行数即为秩。
2. 子式法：最高阶非零子式的阶数。
3. 行列式法（对方阵）：$\det(A) \neq 0 \iff \operatorname{rank}(A) = n$。

6.5 向量组秩的矩阵求法#

将向量组按列排成矩阵 $A$，则向量组的秩等于矩阵 $A$ 的列秩，也等于 $\operatorname{rank}(A)$。

同理，若按行排成矩阵，则向量组的秩等于该矩阵的行秩。

6.6 常见性质（矩阵秩与向量组秩的对应）#

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