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1.1 定义#

给定 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m$（$m \geq 1$），若存在一组不全为零的实数 $k_1, k_2, \dots, k_m$，使得

则称该向量组线性相关（linearly dependent）。

反之，若只有当 $k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0$ 时上式才成立，则称该向量组线性无关（linearly independent）。

1.2 等价表述#

• 向量组线性相关 $\iff$ 存在某个向量可由其余向量线性表示（当 $m \geq 2$ 时）。
• 向量组线性无关 $\iff$ 任何一个向量都不能由其余向量线性表示。
• 单个向量 $\boldsymbol{\alpha}$：线性相关 $\iff$$\boldsymbol{\alpha} = \mathbf{0}$；线性无关 $\iff$$\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$。

1.3 几何直观#

2.1 定义法（直接验证齐次方程组）#

解齐次方程组

• 若有非零解 $\Rightarrow$ 线性相关。
• 若只有零解 $\Rightarrow$ 线性无关。

2.2 秩判别法（最常用）#

将向量按列排成矩阵 $A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix}$，则：

• $\operatorname{rank}(A) < m$$\iff$ 线性相关。
• $\operatorname{rank}(A) = m$$\iff$ 线性无关。

重要推论：

• 若 $m > n$（向量个数大于维数），则必线性相关。
• 若 $m \leq n$，可能相关也可能无关，需进一步判断。

2.3 行列式判别法（仅当 $m = n$）#

当向量组中向量个数等于维数时，构造方阵：

• $\det(A) = 0$$\iff$ 线性相关。
• $\det(A) \neq 0$$\iff$ 线性无关。

2.4 线性表示判别法#

• 若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示，且 $A$ 中向量个数 $>$$B$ 中向量个数，则 $A$ 必线性相关。
• 若向量组 $A$ 线性无关，且可由向量组 $B$ 线性表示，则 $A$ 中向量个数 $\leq$$B$ 中向量个数。

2.5 利用已知结论快速判断#

• 包含零向量$\Rightarrow$ 线性相关。
• 存在两个向量成比例$\Rightarrow$ 线性相关。
• 部分相关$\Rightarrow$整体相关（添加向量不改变相关性）。
• 整体无关$\Rightarrow$部分无关（去掉向量不改变无关性）。

3.1 定义#

• 接长向量（延伸）：在向量的末尾（或相同位置）添加若干个分量，得到维数更高的向量。
• 缩短向量（缩短）：去掉向量的若干个分量（通常去掉末尾相同位置的分量），得到维数更低的向量。

3.2 核心定理#

设原向量组为 $A = \{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_m\}$，延伸组为 $\tilde{A} = \{\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_1, \dots, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_m\}$（每个向量添加相同位置的分量）。

定理 1（延伸组）：

即：无关组的延伸组必无关。

定理 2（缩短组）：

即：延伸组相关则原组必相关（上述定理的逆否命题）。

定理 3（缩短组另一形式）：

即：相关组的缩短组必相关。

定理 4（延伸组另一形式）：

即：缩短组无关则原组必无关（定理 3 的逆否命题）。

注意：

• 延伸组无关 $\Rightarrow$ 原组无关？不一定（反例见下）。
• 缩短组相关 $\Rightarrow$ 原组相关？也不一定（反例见下）。只有单方向成立。

3.3 反例说明#

反例 1（原组相关，但延伸组可无关）：

延伸为：

易验证 $\tilde{A}$ 线性无关（$1\cdot\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_1 + (-0.5)\cdot\tilde{\boldsymbol{\alpha}}_2 = (0,0,1) \neq \mathbf{0}$）。

反例 2（缩短组相关，但原组可无关）：

缩短（去掉最后一维）：

3.4 应用技巧#

• 证明无关：可考虑将向量组缩短（去掉一些分量），若缩短组无关，则原组无关。
• 证明相关：可考虑将向量组接长（增加分量），若延伸组相关，则原组相关；或直接利用原组相关推出其缩短组相关。

4.1 基本性质#

1. 包含零向量的向量组必线性相关。
2. 含两个成比例向量的向量组必线性相关。
3. 部分相关 ⇒ 整体相关：若向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。
4. 整体无关 ⇒ 部分无关：若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关。
5. 无关组的延伸组仍无关。
6. 相关组的缩短组仍相关。

4.2 与线性表示的关系#

1. 向量组 $A$ 线性相关（$m \geq 2$）$\iff$ 存在 $A$ 中某个向量可由其余向量线性表示。
2. 若 $A$ 线性无关，且 $A \cup \{\boldsymbol{\beta}\}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $A$唯一线性表示。
3. 若 $A$ 可由 $B$ 线性表示，且 $A$ 线性无关，则 $|A| \leq |B|$。

4.3 与秩的关系#

• 向量组的秩 = 极大线性无关组所含向量个数。
• 线性相关 $\iff$$\operatorname{rank} < \text{向量个数}$。
• 线性无关 $\iff$$\operatorname{rank} = \text{向量个数}$。

4.4 与齐次线性方程组解的关系#

设 $A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 & \cdots & \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix}$，则：

• 列向量组线性相关 $\iff$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 有非零解。
• 列向量组线性无关 $\iff$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有零解。

4.5 特殊向量组的线性相关性#

• 标准单位坐标向量组$\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n$：线性无关。
• 数量向量组：如 $(1,2,3),\ (2,4,6)$ 成比例，线性相关。
• 范德蒙德向量组：不同基点的范德蒙德向量组线性无关。

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