行向量组与列向量组（按向量分块）#

1. 对角分块矩阵#

$A = \begin{pmatrix} A_1 & & \\ & \ddots & \\ & & A_k \end{pmatrix}$性质：

• $|A| = |A_1| \cdots |A_k|$
• $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ 每个 $A_i$ 可逆
• $A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & & \\ & \ddots & \\ & & A_k^{-1} \end{pmatrix}$

2. 分块上/下三角#

$\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} \quad \text{或} \quad \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix}$

行列式：$\det = |A| \cdot |D|$（对角块必须是方阵）

① 分块对角（$B = 0$ 且 $C = 0$）#

$\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{pmatrix}$

② 分块上三角（$C = 0$）#

$\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1} \\ 0 & D^{-1} \end{pmatrix}$

③ 分块下三角（$B = 0$）#

$\begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ -D^{-1}CA^{-1} & D^{-1} \end{pmatrix}$

④ 反三角形式#

$\begin{pmatrix} 0 & B \\ C & 0 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & C^{-1} \\ B^{-1} & 0 \end{pmatrix} \quad (\text{前提 } B, C \text{ 均可逆方阵})$

这些公式本质上都是从一般舒尔补公式代入零矩阵得到的，但记住简化版可以直接写出结果。