定义#

矩阵等价：若矩阵$A$可以经过有限次初等变换化为矩阵$B$，则称矩阵$A$与$B$等价，记作$A \cong B$。

判定条件#

矩阵等价的充要条件是：

1. A与B同型时秩相等：$r(A)=r(B)$
2. 存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$（或者一系列的初等矩阵$P_{s} \dots P_{1}$和$Q_{1} \dots Q_{s}$），使得$PAQ=B$
3. $A$与$B$有相同的标准形

性质#

1. 反身性：$A \cong A$
2. 对称性：若$A \cong B$，则$B \cong A$
3. 传递性：若$A \cong B$且$B \cong C$，则$A \cong C$

有关结论#

• 任意一个矩阵都和其标准形矩阵等价
• 若$A \cong B$，则$r(A)=r(B)$
• 若$A$、$B$为同阶方阵，且$A \cong B$，则：
  • $|A|=k|B|$
  • $A$、$B$同时可逆或同时不可逆（行列式同时为零或不为零）
• 若$A$为方阵
  • $A$可逆 ⇔ $|A|$≠0 ⇔ $A$满秩⇔ $A$的标准形是E⇔$A$可以表示为有限个初等矩阵的乘积（因为A的行列式和A的标准形的行列式同时为零(有零行)或不为零）