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842 字

2 分钟

4.1线性方程组的表示法

2026-06-16

线性代数

数学

/

线性代数

/

方程组

线性方程组的表示法#

一、线性方程组的一般形式#

一个含有 $m$ 个方程、 $n$ 个未知数的线性方程组可以写成：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}

其中：

$x_1, x_2, \dots, x_n$ 为 未知数（unknowns）
$a_{ij}$ 为系数（coefficient）， $i$ 表示方程行， $j$ 表示未知数序号
$b_1, b_2, \dots, b_m$ 为 常数项（constant terms）

二、矩阵表示法#

2.1 系数矩阵#

将方程组中所有未知数的系数按原位置排成的 $m \times n$ 矩阵，称为 系数矩阵（coefficient matrix），记作 $\boldsymbol{A}$ ：

\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}_{m \times n}

注意：系数矩阵不包含常数项 $b_i$ 。

2.2 未知数矩阵（列向量）#

将所有未知数按顺序排成一列，得到 $n \times 1$ 的未知数矩阵（或未知向量），记作 $\boldsymbol{x}$ ：

\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}_{n \times 1}

2.3 常数项矩阵（列向量）#

将所有常数项按顺序排成一列，得到 $m \times 1$ 的常数项矩阵（或右端向量），记作 $\boldsymbol{b}$ ：

\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}_{m \times 1}

2.4 增广矩阵#

把系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和常数项矩阵 $\boldsymbol{b}$ 拼在一起（在右侧多加一列），得到的 $m \times (n+1)$ 矩阵称为 增广矩阵（augmented matrix），记作 $\widetilde{\boldsymbol{A}}$ 或 $(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b})$ ：

\widetilde{\boldsymbol{A}} = (\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b}) = \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array} \right)_{m \times (n+1)}

作用：增广矩阵完整地保留了方程组的所有信息，是消元法（高斯消元） 的核心工具。

三、矩阵方程形式#

利用矩阵乘法，整个线性方程组可紧凑地写为一个矩阵方程：

\boxed{\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}}

即：

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

这是线性代数中最核心的表示法。

四、向量形式（列向量线性组合）#

将系数矩阵按列分块，方程组可以写成列向量的线性组合：

x_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + x_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + x_n \boldsymbol{\alpha}_n = \boldsymbol{b}

其中 $\boldsymbol{\alpha}_j = \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 $j$ 列。

几何意义：方程组是否有解，等价于向量 $\boldsymbol{b}$ 能否由 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n\}$ 线性表示。这直接引出秩与线性相关性的讨论。

五、齐次与非齐次线性方程组#

5.1 齐次线性方程组 (Homogeneous System)#

当所有常数项都为零时，称为 齐次线性方程组：

\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}

即：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}

性质：

必有零解（平凡解）： $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 永远成立。
若存在非零解（非平凡解），则非零解的任意线性组合仍是解（解空间构成向量空间）。
当 $m < n$ 时，必有非零解。

5.2 非齐次线性方程组 (Non-homogeneous System)#

常数项不全为零时，称为 非齐次线性方程组：

\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \quad (\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0})

性质：

不一定有解（可能无解）。
若 $\boldsymbol{x}^*$ 是一个特解，则通解 = 特解 + 对应齐次方程组的通解： $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^* + \boldsymbol{x}_{\text{齐}}$

5.3 关系总结#

类型	形式	解的结构
齐次	$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$	必有零解；非零解的线性组合仍是解（子空间）
非齐次	$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ ( $\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$ )	通解 = 特解 + 齐次通解（平移子空间）

六、总结对照表#

表示方式	形式	核心对象	维度
一般形式	逐方程展开	方程组	——
矩阵方程	$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$	系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 、未知向量 $\boldsymbol{x}$ 、常数向量 $\boldsymbol{b}$	$A: m \times n$
增广矩阵	$(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{b})$	系数 + 常数项合体	$m \times (n+1)$
向量形式	$\sum x_j \boldsymbol{\alpha}_j = \boldsymbol{b}$	列向量 $\boldsymbol{\alpha}_j$	每个列向量 $m$ 维

核心思路：同一种方程组，三种视角——

矩阵方程 → 关注线性变换；

增广矩阵 → 便于消元计算；

向量形式 → 揭示线性组合与秩的本质。

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4.1线性方程组的表示法

https://wander-seek.asia/posts/41线性方程组的表示法/

作者

Coldgerm

发布于

2026-06-16

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

部分信息可能已经过时

3.1向量的概念和线性运算

Wander & seek

线性方程组的表示法#

一、线性方程组的一般形式#

二、矩阵表示法#

2.1 系数矩阵#

2.2 未知数矩阵（列向量）#

2.3 常数项矩阵（列向量）#

2.4 增广矩阵#

三、矩阵方程形式#

四、向量形式（列向量线性组合）#

五、齐次与非齐次线性方程组#

5.1 齐次线性方程组 (Homogeneous System)#

5.2 非齐次线性方程组 (Non-homogeneous System)#

5.3 关系总结#

六、总结对照表#

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