一、矩阵的加减#
矩阵加法（A + B）#
前提：同型矩阵（行数、列数完全相同）
(A+B)ij=aij+bij本质：对应位置逐项相加
衍生公式#
- 交换律：
A+B=B+A
- 结合律：
(A+B)+C=A+(B+C)
- 零矩阵：
A+O=A
- 负矩阵：
A+(−A)=O
易错点#
- ❌ 不同维度矩阵不能相加（最常见低级错误）
- ❌ 把矩阵加法当成乘法（逐项相乘是错误的）
- ❌ 忘记负号分配（特别是减法时）
矩阵减法（A - B）#
A−B=A+(−B)(A−B)ij=aij−bij
本质：对应位置逐项相减
衍生公式#
- 反对称：
A−B=−(B−A)
- 与零矩阵：
A−A=O
易错点#
- ❌ 忘记整体加负号（尤其是括号）
A−(B+C)=A−B−C
- ❌ 顺序写反（减法没有交换律）
二、数乘（kA）#
(kA)ij=k⋅aij
👉 本质：矩阵中每个元素都乘 k
衍生公式#
- 分配律：
k(A+B)=kA+kB
- 结合律：
(kl)A=k(lA)
- 单位：
1A=A,0A=O
易错点#
- ❌ 只乘部分元素（必须全部乘）
- ❌ 忘记负号作用到所有元素
- ❌ 和矩阵乘法混淆
三、矩阵乘法（AB）#
前提：A 的列数 = B 的行数
若：
- ( A ) 是 (m×n)
- ( B ) 是 (n×p)
则：
- ( AB ) 是 (m×p)(AB)ij=∑k=1naikbkj
👉 本质：行 × 列
衍生公式#
（1）结合律（成立）#
(AB)C=A(BC)
（2）分配律（成立）#
A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AC+BC
（3）数乘关系#
k(AB)=(kA)B=A(kB)
（4）单位矩阵#
AI=IA=A
（5）零矩阵#
AO=O,OA=O
重要性质#
- 不满足交换律：AB=BA
易错点（高频考点）#
- 忘记维度匹配
(2×3)×(2×2) ❌（不能乘）
- 把乘法当逐元素乘
错误：
(AB)ij=aijbij
正确：
行 × 列
- 顺序错误
AB=BA
- 错误消去
AB=AC⇏B=C
（矩阵没有“随便约掉”）
- 零乘积误判
AB=O⇏A=O 或 B=O
总结对比#
| 运算 | 条件 | 本质 | 是否交换 |
|---|
| 加法 | 同型 | 对应元素相加 | ✅ |
| 减法 | 同型 | 对应元素相减 | ❌ |
| 数乘 | 任意 | 每个元素乘 k | ✅ |
| 乘法 | 列=行 | 行×列 | ❌ |
四、矩阵的次幂#
矩阵幂的性质#
k1k2为非负整数
Ak1Ak2=Ak1+k2(Ak1)k2=Ak1k2(LA)k=lkAk注：因为矩阵的乘法不满足交换律，因此一般情况下，(AB)k=AkBk
如果矩阵A和B是可交换的，那么有：
A2−B2=(A+B)(A−B)=(A−B)(A+B);(A+B)2=A2+2AB+B2;(A−B)2=A2−2AB+B2;A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2);A3+B3=(A+B)(A2−AB+B2);(AB)k=AkBk如果矩阵A和E，那么有：
A2−E=(A+E)(A−E)(A+E)2=A2+2A+E(A−E)2=A2−2A+EA3−E=(A−E)(A2+A+E)A3+E=(A+E)(A2−A+E)
五、方阵多项式#
设 f(x)=amxm+am−1xm−1+⋯+a1x+a0, 则 f(A)=amAm+am−1Am−1+⋯+a1A+a0E.也就是说在计算方阵的多项式的时候，常数项需要乘上一个单位矩阵E。
