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7.2空间曲线的切线和法平面
怎么求空间曲线的切线和法平面
有空间曲线 的参数方程时
设空间曲线 的参数方程为： 其中函数 均可导。
- 确定切点 当参数 时，对应曲线上的点为 ，其中 。
- 切向量 曲线在点 处的切向量 由参数方程对 的导数在该点的值构成： 此向量不能为零向量。
- 切线方程 切线是过点 且以 为方向向量的直线，其方程为（对称式）：
- 法平面方程 法平面是过点 且与切线垂直的平面。因此，切向量 就是法平面的法向量。其方程为（点法式）：
当空间曲线 由两个曲面方程联立给出时
设 是曲线上的一点。
- 求切向量 曲线在点 处的切向量 垂直于两个曲面在该点的法向量。因此，切向量可以通过两个曲面法向量的叉积求得： 展开后，切向量 的分量可以用雅可比行列式表示： 其中，例如 。
- 写出切线与法平面方程 得到切向量 后，代入情形一的公式即可：
- 切线方程：
- 法平面方程：
介于上述两种情形之间的特殊情况
例如曲线方程为： 这可以看作是以 为参数的参数方程。
- 求切向量 将 视为参数，则曲线可写为 。对 求导，得到切向量：
- 写出切线与法平面方程 同样，将得到的切向量代入情形一的公式中：
- 切线方程：
- 法平面方程：
| 曲线形式 | 切向量 | 法平面方程 |
|---|---|---|
| 参数方程 | ||
| 一般方程 | ||
| 特殊方程 |
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7.2空间曲线的切线和法平面
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