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子式定义#

矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数称为 $A$ 的秩。

• $r(A) = r$$\Leftrightarrow$ 存在某个 $r$ 阶子式不为零，且所有 $r+1$ 阶子式（若存在）全为零。 什么是子式呢？ 在一个矩阵里任取K行K列，位于行列交叉点处的$k^2$个元素，按照在矩阵中的位置不变，得到的k阶行列式，

等价标准形定义#

$r(A) = r$$\Leftrightarrow$$A$ 可经过初等变换化为： $\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 其中 $E_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵，其余位置为零矩阵。

1. 取值范围#

$0 \leq r(A) \leq \min\{m, n\}$

• $r(A) = 0$$\Leftrightarrow$$A$ 是零矩阵
• $r(A) = \min\{m, n\}$ 时称 $A$ 为行满秩或列满秩（或统称满秩）

2. 转置不变性#

$r(A) = r(A^T)$

因为行秩 = 列秩，转置只是交换了行和列。

3. 数乘#

$k \neq 0$ 时，$r(kA) = r(A)$。

乘以非零常数不改变各子式是否为零。

4. 可逆矩阵相乘不改变秩#

若 $P, Q$ 均为可逆方阵，则：

$r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) = r(A)$

这是秩最重要的性质之一——可逆矩阵相当于一系列初等变换的复合，而初等变换不改变秩。

1. 加法#

$r(A + B) \leq r(A) + r(B)$

$A+B$ 的列向量都是 $A$ 的列向量与 $B$ 的列向量的和，被两者共同张成，故秩不超过秩之和。

2. 乘法#

$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$

• $r(AB) \leq r(A)$（因为 $AB$ 的列是 $A$ 的列的线性组合）
• $r(AB) \leq r(B)$（因为 $AB$ 的行是 $B$ 的行的线性组合）

3. 重要特例：若 $A$ 列满秩，则 $r(AB) = r(B)$#

若 $A$ 是列满秩矩阵（$r(A) =$ 列数），则左乘 $A$ 不改变秩：

$r(AB) = r(B)$

同样，若 $B$ 行满秩，则右乘 $B$ 不改变秩：

$r(AB) = r(A)$

这是上面”可逆矩阵不改变秩”的推广：可逆矩阵既是列满秩又是行满秩。

4. 乘积为零时的秩关系#

若 $AB = 0$，则：

$r(A) + r(B) \leq n$

其中 $n$ 是 $A$ 的列数（也是 $B$ 的行数）。

几何解释：$B$ 的每一列都在 $A$ 的零空间中，故 $B$ 的列空间维数 $\leq$$A$ 的零空间维数 $= n - r(A)$。

1. 西尔维斯特（Sylvester）不等式#

$r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$

其中 $n$ 是 $A$ 的列数（$B$ 的行数）。左半部分给出了 $r(AB)$ 的下界。

2. 弗罗贝尼乌斯（Frobenius）不等式#

$r(ABC) \geq r(AB) + r(BC) - r(B)$

取 $B = E$ 即退化为西尔维斯特不等式。

3. 秩的三角不等式#

$|r(A) - r(B)| \leq r(A + B) \leq r(A) + r(B)$

方程组：$Ax = b$（$A$ 为 $m \times n$ 矩阵）#

记增广矩阵为 $\widetilde{A} = (A \mid b)$。

齐次方程组：$Ax = 0$#

• 解空间的维数 = $n - r(A)$
• $r(A) = n$$\Leftrightarrow$ 只有零解
• $r(A) < n$$\Leftrightarrow$ 有非零解

1. 基本公式#

$r\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} = r(A) + r(B)$

$r\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} \geq r(A) + r(B)$

2. 分块初等变换不改变秩（重要）#

分块矩阵做分块初等变换（左乘或右乘可逆分块初等矩阵），秩不变。

例如：

$r\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - CA^{-1}B \end{pmatrix} \quad (\text{当 } A \text{ 可逆时})$

这可以推出：

$r\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = r(A) + r(D - CA^{-1}B) \quad (\text{当 } A \text{ 可逆时})$

3. 常用秩等式#

• $r(A) + r(B) \leq r\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} \leq r(A) + r(B) + r(C)$
• $r\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \leq r(A) + r(B)$
• $r\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} \leq r(A) + r(B)$